Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35601 / 47911
↖ ↑ ↗
← S 63.643821°
E 15.562134°		 ← 271.19 m → S 63.643821°
E 15.567627°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
S 63.646259°
E 15.562134°		 ← 271.16 m →
73 529 m²		 S 63.646259°
E 15.567627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543235778808594 y=0.731071472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543235778808594 × 216)
    floor (0.543235778808594 × 65536)
    floor (35601.5)     		tx = 35601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731071472167969 × 216)
    floor (0.731071472167969 × 65536)
    floor (47911.5)     		ty = 47911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35601 / 47911 ti = "16/35601/47911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35601/47911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35601 ÷ 216
    35601 ÷ 65536     		x = 0.543228149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47911 ÷ 216
    47911 ÷ 65536     		y = 0.731063842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543228149414062 × 2 - 1) × π
    0.086456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27161047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731063842773438 × 2 - 1) × π
    -0.462127685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45181694189302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27161047} λ = 0.27161047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45181694189302))-π/2
    2×atan(0.234144474466955)-π/2
    2×0.230001054314415-π/2
    0.460002108628831-1.57079632675     		φ = -1.11079422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27161047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.562134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11079422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.643821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35601 KachelY 47911 0.27161047 -1.11079422 15.562134 -63.643821
    Oben rechts KachelX + 1 35602 KachelY 47911 0.27170635 -1.11079422 15.567627 -63.643821
    Unten links KachelX 35601 KachelY + 1 47912 0.27161047 -1.11083678 15.562134 -63.646259
    Unten rechts KachelX + 1 35602 KachelY + 1 47912 0.27170635 -1.11083678 15.567627 -63.646259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11079422--1.11083678) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11079422--1.11083678) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27161047-0.27170635) × cos(-1.11079422) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.443949994763363 × 6371000     		do = 271.187511347172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27161047-0.27170635) × cos(-1.11083678) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.443911858406812 × 6371000     		du = 271.164215697331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11079422)-sin(-1.11083678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443949994763363-0.443911858406812)×R²
    abs(0.27170635-0.27161047)×3.8136356551588e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8136356551588e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8136356551588e-05×40589641000000     		ar = 73529.2703230215m²