Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35600 / 104176
↖ ↑ ↗
← S 72.168352°
W 82.221680°		 ← 93.53 m → S 72.168352°
W 82.218933°		 →
↑
93.53 m
↓
↑
93.53 m
↓
S 72.169193°
W 82.221680°		 ← 93.52 m →
8 747 m²		 S 72.169193°
W 82.218933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271610260009766 y=0.794803619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271610260009766 × 217)
    floor (0.271610260009766 × 131072)
    floor (35600.5)     		tx = 35600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794803619384766 × 217)
    floor (0.794803619384766 × 131072)
    floor (104176.5)     		ty = 104176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35600 / 104176 ti = "17/35600/104176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35600/104176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35600 ÷ 217
    35600 ÷ 131072     		x = 0.2716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104176 ÷ 217
    104176 ÷ 131072     		y = 0.7947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43503903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43503903} λ = -1.43503903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85228180131897))-π/2
    2×atan(0.15687879136585)-π/2
    2×0.155610488855094-π/2
    0.311220977710189-1.57079632675     		φ = -1.25957535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43503903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.221680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25957535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.168352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35600 KachelY 104176 -1.43503903 -1.25957535 -82.221680 -72.168352
    Oben rechts KachelX + 1 35601 KachelY 104176 -1.43499109 -1.25957535 -82.218933 -72.168352
    Unten links KachelX 35600 KachelY + 1 104177 -1.43503903 -1.25959003 -82.221680 -72.169193
    Unten rechts KachelX + 1 35601 KachelY + 1 104177 -1.43499109 -1.25959003 -82.218933 -72.169193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25957535--1.25959003) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dl = 93.5262800002845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25957535--1.25959003) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dr = 93.5262800002845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43503903--1.43499109) × cos(-1.25957535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306221185956077 × 6371000     		do = 93.5278323242511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43503903--1.43499109) × cos(-1.25959003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306207211144548 × 6371000     		du = 93.5235640570984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25957535)-sin(-1.25959003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306221185956077-0.306207211144548)×R²
    abs(-1.43499109--1.43503903)×1.39748115292604e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39748115292604e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39748115292604e-05×40589641000000     		ar = 8747.11063632976m²