Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3560 / 4648
↖ ↑ ↗
← N 61.185625°
W101.777344°		 ← 1 177.56 m → N 61.185625°
W101.755371°		 →
↑
1 177.81 m
↓
↑
1 177.81 m
↓
N 61.175033°
W101.777344°		 ← 1 177.96 m →
1 387 177 m²		 N 61.175033°
W101.755371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217315673828125 y=0.283721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217315673828125 × 214)
    floor (0.217315673828125 × 16384)
    floor (3560.5)     		tx = 3560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283721923828125 × 214)
    floor (0.283721923828125 × 16384)
    floor (4648.5)     		ty = 4648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3560 / 4648 ti = "14/3560/4648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3560/4648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3560 ÷ 214
    3560 ÷ 16384     		x = 0.21728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4648 ÷ 214
    4648 ÷ 16384     		y = 0.28369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77634975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28369140625 × 2 - 1) × π
    0.4326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.35910697802783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77634975} λ = -1.77634975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35910697802783))-π/2
    2×atan(3.89271546869071)-π/2
    2×1.31934346617825-π/2
    2.63868693235651-1.57079632675     		φ = 1.06789061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77634975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06789061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.185625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3560 KachelY 4648 -1.77634975 1.06789061 -101.777344 61.185625
    Oben rechts KachelX + 1 3561 KachelY 4648 -1.77596626 1.06789061 -101.755371 61.185625
    Unten links KachelX 3560 KachelY + 1 4649 -1.77634975 1.06770574 -101.777344 61.175033
    Unten rechts KachelX + 1 3561 KachelY + 1 4649 -1.77596626 1.06770574 -101.755371 61.175033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06789061-1.06770574) × R
    0.000184870000000004 × 6371000     		dl = 1177.80677000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06789061-1.06770574) × R
    0.000184870000000004 × 6371000     		dr = 1177.80677000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77634975--1.77596626) × cos(1.06789061) × R
    0.000383490000000153 × 0.481973517465778 × 6371000     		do = 1177.56482626118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77634975--1.77596626) × cos(1.06770574) × R
    0.000383490000000153 × 0.482135489694599 × 6371000     		du = 1177.96055920621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06789061)-sin(1.06770574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481973517465778-0.482135489694599)×R²
    abs(-1.77596626--1.77634975)×0.000161972228820917×R²
    0.000383490000000153×0.000161972228820917×6371000²
    0.000383490000000153×0.000161972228820917×40589641000000     		ar = 1387176.87690567m²