Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3560 / 4616
↖ ↑ ↗
← N 78.043795°
W140.888672°		 ← 253.07 m → N 78.043795°
W140.877686°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
N 78.041519°
W140.888672°		 ← 253.11 m →
64 046 m²		 N 78.041519°
W140.877686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108657836914062 y=0.140884399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108657836914062 × 215)
    floor (0.108657836914062 × 32768)
    floor (3560.5)     		tx = 3560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140884399414062 × 215)
    floor (0.140884399414062 × 32768)
    floor (4616.5)     		ty = 4616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3560 / 4616 ti = "15/3560/4616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3560/4616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3560 ÷ 215
    3560 ÷ 32768     		x = 0.108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4616 ÷ 215
    4616 ÷ 32768     		y = 0.140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.78271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45897120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140869140625 × 2 - 1) × π
    0.71826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25648573891528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45897120} λ = -2.45897120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25648573891528))-π/2
    2×atan(9.54947079589946)-π/2
    2×1.46645875576965-π/2
    2.93291751153931-1.57079632675     		φ = 1.36212118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45897120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36212118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.043795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3560 KachelY 4616 -2.45897120 1.36212118 -140.888672 78.043795
    Oben rechts KachelX + 1 3561 KachelY 4616 -2.45877946 1.36212118 -140.877686 78.043795
    Unten links KachelX 3560 KachelY + 1 4617 -2.45897120 1.36208146 -140.888672 78.041519
    Unten rechts KachelX + 1 3561 KachelY + 1 4617 -2.45877946 1.36208146 -140.877686 78.041519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36212118-1.36208146) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36212118-1.36208146) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45897120--2.45877946) × cos(1.36212118) × R
    0.000191739999999996 × 0.207163969884959 × 6371000     		do = 253.066438380757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45897120--2.45877946) × cos(1.36208146) × R
    0.000191739999999996 × 0.207202828045187 × 6371000     		du = 253.113906558821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36212118)-sin(1.36208146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207163969884959-0.207202828045187)×R²
    abs(-2.45877946--2.45897120)×3.88581602277505e-05×R²
    0.000191739999999996×3.88581602277505e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.88581602277505e-05×40589641000000     		ar = 64046.0170637811m²