Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3560 / 4571
↖ ↑ ↗
← N 78.145782°
W140.888672°		 ← 250.94 m → N 78.145782°
W140.877686°		 →
↑
250.95 m
↓
↑
250.95 m
↓
N 78.143526°
W140.888672°		 ← 250.99 m →
62 980 m²		 N 78.143526°
W140.877686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108657836914062 y=0.139511108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108657836914062 × 215)
    floor (0.108657836914062 × 32768)
    floor (3560.5)     		tx = 3560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139511108398438 × 215)
    floor (0.139511108398438 × 32768)
    floor (4571.5)     		ty = 4571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3560 / 4571 ti = "15/3560/4571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3560/4571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3560 ÷ 215
    3560 ÷ 32768     		x = 0.108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4571 ÷ 215
    4571 ÷ 32768     		y = 0.139495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.78271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45897120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139495849609375 × 2 - 1) × π
    0.72100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26511438084689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45897120} λ = -2.45897120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26511438084689))-π/2
    2×atan(9.63222628030299)-π/2
    2×1.46734876536264-π/2
    2.93469753072528-1.57079632675     		φ = 1.36390120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45897120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36390120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.145782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3560 KachelY 4571 -2.45897120 1.36390120 -140.888672 78.145782
    Oben rechts KachelX + 1 3561 KachelY 4571 -2.45877946 1.36390120 -140.877686 78.145782
    Unten links KachelX 3560 KachelY + 1 4572 -2.45897120 1.36386181 -140.888672 78.143526
    Unten rechts KachelX + 1 3561 KachelY + 1 4572 -2.45877946 1.36386181 -140.877686 78.143526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36390120-1.36386181) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dl = 250.953689999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36390120-1.36386181) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dr = 250.953689999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45897120--2.45877946) × cos(1.36390120) × R
    0.000191739999999996 × 0.205422237943554 × 6371000     		do = 250.9387812439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45897120--2.45877946) × cos(1.36386181) × R
    0.000191739999999996 × 0.205460787731022 × 6371000     		du = 250.985872721343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36390120)-sin(1.36386181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205422237943554-0.205460787731022)×R²
    abs(-2.45877946--2.45897120)×3.85497874680618e-05×R²
    0.000191739999999996×3.85497874680618e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.85497874680618e-05×40589641000000     		ar = 62979.922015372m²