Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3560 / 2664
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
W 23.554687°		 ← 2 932.56 m → N 53.120405°
W 23.510742°		 →
↑
2 933.46 m
↓
↑
2 933.46 m
↓
N 53.094024°
W 23.554687°		 ← 2 934.36 m →
8 605 189 m²		 N 53.094024°
W 23.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43463134765625 y=0.32525634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43463134765625 × 213)
    floor (0.43463134765625 × 8192)
    floor (3560.5)     		tx = 3560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32525634765625 × 213)
    floor (0.32525634765625 × 8192)
    floor (2664.5)     		ty = 2664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3560 / 2664 ti = "13/3560/2664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3560/2664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3560 ÷ 213
    3560 ÷ 8192     		x = 0.4345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2664 ÷ 213
    2664 ÷ 8192     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41110685} λ = -0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3560 KachelY 2664 -0.41110685 0.92712597 -23.554687 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 3561 KachelY 2664 -0.41033986 0.92712597 -23.510742 53.120405
    Unten links KachelX 3560 KachelY + 1 2665 -0.41110685 0.92666553 -23.554687 53.094024
    Unten rechts KachelX + 1 3561 KachelY + 1 2665 -0.41033986 0.92666553 -23.510742 53.094024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92666553) × R
    0.000460440000000006 × 6371000     		dl = 2933.46324000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92666553) × R
    0.000460440000000006 × 6371000     		dr = 2933.46324000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41110685--0.41033986) × cos(0.92712597) × R
    0.000766990000000023 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 2932.5575553844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41110685--0.41033986) × cos(0.92666553) × R
    0.000766990000000023 × 0.60050363141591 × 6371000     		du = 2934.35696553457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92666553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.60050363141591)×R²
    abs(-0.41033986--0.41110685)×0.000368241608732278×R²
    0.000766990000000023×0.000368241608732278×6371000²
    0.000766990000000023×0.000368241608732278×40589641000000     		ar = 8605189.19169808m²