Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35595 / 104195
↖ ↑ ↗
← S 72.184324°
W 82.235413°		 ← 93.45 m → S 72.184324°
W 82.232666°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
S 72.185165°
W 82.235413°		 ← 93.44 m →
8 734 m²		 S 72.185165°
W 82.232666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271572113037109 y=0.794948577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271572113037109 × 217)
    floor (0.271572113037109 × 131072)
    floor (35595.5)     		tx = 35595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794948577880859 × 217)
    floor (0.794948577880859 × 131072)
    floor (104195.5)     		ty = 104195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35595 / 104195 ti = "17/35595/104195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35595/104195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35595 ÷ 217
    35595 ÷ 131072     		x = 0.271568298339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104195 ÷ 217
    104195 ÷ 131072     		y = 0.794944763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271568298339844 × 2 - 1) × π
    -0.456863403320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.43527871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794944763183594 × 2 - 1) × π
    -0.589889526367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.85319260241175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43527871} λ = -1.43527871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85319260241175))-π/2
    2×atan(0.156735971041566)-π/2
    2×0.155471095999884-π/2
    0.310942191999768-1.57079632675     		φ = -1.25985413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43527871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.235413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25985413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.184324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35595 KachelY 104195 -1.43527871 -1.25985413 -82.235413 -72.184324
    Oben rechts KachelX + 1 35596 KachelY 104195 -1.43523077 -1.25985413 -82.232666 -72.184324
    Unten links KachelX 35595 KachelY + 1 104196 -1.43527871 -1.25986880 -82.235413 -72.185165
    Unten rechts KachelX + 1 35596 KachelY + 1 104196 -1.43523077 -1.25986880 -82.232666 -72.185165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25985413--1.25986880) × R
    1.46700000001054e-05 × 6371000     		dl = 93.4625700006717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25985413--1.25986880) × R
    1.46700000001054e-05 × 6371000     		dr = 93.4625700006717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43527871--1.43523077) × cos(-1.25985413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30595578654233 × 6371000     		do = 93.4467725119119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43527871--1.43523077) × cos(-1.25986880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.305941819998667 × 6371000     		du = 93.4425067699784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25985413)-sin(-1.25986880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30595578654233-0.305941819998667)×R²
    abs(-1.43523077--1.43527871)×1.39665436627578e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39665436627578e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39665436627578e-05×40589641000000     		ar = 8733.57617393869m²