Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3559 / 4594
↖ ↑ ↗
← N 78.093763°
W140.899658°		 ← 252.04 m → N 78.093763°
W140.888672°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
N 78.091496°
W140.899658°		 ← 252.08 m →
63 529 m²		 N 78.091496°
W140.888672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108627319335938 y=0.140213012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108627319335938 × 215)
    floor (0.108627319335938 × 32768)
    floor (3559.5)     		tx = 3559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140213012695312 × 215)
    floor (0.140213012695312 × 32768)
    floor (4594.5)     		ty = 4594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3559 / 4594 ti = "15/3559/4594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3559/4594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3559 ÷ 215
    3559 ÷ 32768     		x = 0.108612060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4594 ÷ 215
    4594 ÷ 32768     		y = 0.14019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.78277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45916295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14019775390625 × 2 - 1) × π
    0.7196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26070418608185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45916295} λ = -2.45916295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26070418608185))-π/2
    2×atan(9.58983982135627)-π/2
    2×1.46689481043219-π/2
    2.93378962086438-1.57079632675     		φ = 1.36299329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45916295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.899658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36299329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.093763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3559 KachelY 4594 -2.45916295 1.36299329 -140.899658 78.093763
    Oben rechts KachelX + 1 3560 KachelY 4594 -2.45897120 1.36299329 -140.888672 78.093763
    Unten links KachelX 3559 KachelY + 1 4595 -2.45916295 1.36295373 -140.899658 78.091496
    Unten rechts KachelX + 1 3560 KachelY + 1 4595 -2.45897120 1.36295373 -140.888672 78.091496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36299329-1.36295373) × R
    3.95599999998275e-05 × 6371000     		dl = 252.036759998901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36299329-1.36295373) × R
    3.95599999998275e-05 × 6371000     		dr = 252.036759998901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45916295--2.45897120) × cos(1.36299329) × R
    0.000191749999999935 × 0.206310700560491 × 6371000     		do = 252.037249499608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45916295--2.45897120) × cos(1.36295373) × R
    0.000191749999999935 × 0.20634940932628 × 6371000     		du = 252.084537647215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36299329)-sin(1.36295373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206310700560491-0.20634940932628)×R²
    abs(-2.45897120--2.45916295)×3.87087657890972e-05×R²
    0.000191749999999935×3.87087657890972e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.87087657890972e-05×40589641000000     		ar = 63528.6109474691m²