Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3559 / 2533
↖ ↑ ↗
← N 76.975198°
W101.799317°		 ← 550.65 m → N 76.975198°
W101.777344°		 →
↑
550.77 m
↓
↑
550.77 m
↓
N 76.970245°
W101.799317°		 ← 550.85 m →
303 339 m²		 N 76.970245°
W101.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217254638671875 y=0.154632568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217254638671875 × 214)
    floor (0.217254638671875 × 16384)
    floor (3559.5)     		tx = 3559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154632568359375 × 214)
    floor (0.154632568359375 × 16384)
    floor (2533.5)     		ty = 2533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3559 / 2533 ti = "14/3559/2533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3559/2533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3559 ÷ 214
    3559 ÷ 16384     		x = 0.21722412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2533 ÷ 214
    2533 ÷ 16384     		y = 0.15460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.5655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77673325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15460205078125 × 2 - 1) × π
    0.6907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17019931959918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77673325} λ = -1.77673325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17019931959918))-π/2
    2×atan(8.7600299123928)-π/2
    2×1.4571334874365-π/2
    2.914266974873-1.57079632675     		φ = 1.34347065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77673325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.799317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34347065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.975198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3559 KachelY 2533 -1.77673325 1.34347065 -101.799317 76.975198
    Oben rechts KachelX + 1 3560 KachelY 2533 -1.77634975 1.34347065 -101.777344 76.975198
    Unten links KachelX 3559 KachelY + 1 2534 -1.77673325 1.34338420 -101.799317 76.970245
    Unten rechts KachelX + 1 3560 KachelY + 1 2534 -1.77634975 1.34338420 -101.777344 76.970245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34347065-1.34338420) × R
    8.64499999999602e-05 × 6371000     		dl = 550.772949999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34347065-1.34338420) × R
    8.64499999999602e-05 × 6371000     		dr = 550.772949999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77673325--1.77634975) × cos(1.34347065) × R
    0.00038349999999987 × 0.225372812757181 × 6371000     		do = 550.64854789396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77673325--1.77634975) × cos(1.34338420) × R
    0.00038349999999987 × 0.225457037781002 × 6371000     		du = 550.854333083824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34347065)-sin(1.34338420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225372812757181-0.225457037781002)×R²
    abs(-1.77634975--1.77673325)×8.42250238212161e-05×R²
    0.00038349999999987×8.42250238212161e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.42250238212161e-05×40589641000000     		ar = 303338.995783622m²