Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35588 / 36612
↖ ↑ ↗
← S 20.653346°
E 15.490722°		 ← 571.59 m → S 20.653346°
E 15.496216°		 →
↑
571.54 m
↓
↑
571.54 m
↓
S 20.658486°
E 15.490722°		 ← 571.57 m →
326 684 m²		 S 20.658486°
E 15.496216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543037414550781 y=0.558662414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543037414550781 × 216)
    floor (0.543037414550781 × 65536)
    floor (35588.5)     		tx = 35588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558662414550781 × 216)
    floor (0.558662414550781 × 65536)
    floor (36612.5)     		ty = 36612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35588 / 36612 ti = "16/35588/36612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35588/36612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35588 ÷ 216
    35588 ÷ 65536     		x = 0.54302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36612 ÷ 216
    36612 ÷ 65536     		y = 0.55865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54302978515625 × 2 - 1) × π
    0.0860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27036411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.368538884278992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27036411} λ = 0.27036411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368538884278992))-π/2
    2×atan(0.691744311096372)-π/2
    2×0.605163717483369-π/2
    1.21032743496674-1.57079632675     		φ = -0.36046889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27036411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.490722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36046889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.653346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35588 KachelY 36612 0.27036411 -0.36046889 15.490722 -20.653346
    Oben rechts KachelX + 1 35589 KachelY 36612 0.27045999 -0.36046889 15.496216 -20.653346
    Unten links KachelX 35588 KachelY + 1 36613 0.27036411 -0.36055860 15.490722 -20.658486
    Unten rechts KachelX + 1 35589 KachelY + 1 36613 0.27045999 -0.36055860 15.496216 -20.658486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36046889--0.36055860) × R
    8.97100000000206e-05 × 6371000     		dl = 571.542410000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36046889--0.36055860) × R
    8.97100000000206e-05 × 6371000     		dr = 571.542410000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27036411-0.27045999) × cos(-0.36046889) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.935731542936626 × 6371000     		do = 571.592997885477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27036411-0.27045999) × cos(-0.36055860) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.935699897285669 × 6371000     		du = 571.573667092755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36046889)-sin(-0.36055860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935731542936626-0.935699897285669)×R²
    abs(0.27045999-0.27036411)×3.1645650956813e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1645650956813e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1645650956813e-05×40589641000000     		ar = 326684.115585967m²