Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35588 / 104205
↖ ↑ ↗
← S 72.192726°
W 82.254639°		 ← 93.40 m → S 72.192726°
W 82.251892°		 →
↑
93.40 m
↓
↑
93.40 m
↓
S 72.193566°
W 82.254639°		 ← 93.40 m →
8 724 m²		 S 72.193566°
W 82.251892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271518707275391 y=0.795024871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271518707275391 × 217)
    floor (0.271518707275391 × 131072)
    floor (35588.5)     		tx = 35588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795024871826172 × 217)
    floor (0.795024871826172 × 131072)
    floor (104205.5)     		ty = 104205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35588 / 104205 ti = "17/35588/104205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35588/104205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35588 ÷ 217
    35588 ÷ 131072     		x = 0.271514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104205 ÷ 217
    104205 ÷ 131072     		y = 0.795021057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.45697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43561427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795021057128906 × 2 - 1) × π
    -0.590042114257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.85367197140795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43561427} λ = -1.43561427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85367197140795))-π/2
    2×atan(0.156660854682125)-π/2
    2×0.155397779873426-π/2
    0.310795559746853-1.57079632675     		φ = -1.26000077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43561427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.254639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26000077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.192726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35588 KachelY 104205 -1.43561427 -1.26000077 -82.254639 -72.192726
    Oben rechts KachelX + 1 35589 KachelY 104205 -1.43556633 -1.26000077 -82.251892 -72.192726
    Unten links KachelX 35588 KachelY + 1 104206 -1.43561427 -1.26001543 -82.254639 -72.193566
    Unten rechts KachelX + 1 35589 KachelY + 1 104206 -1.43556633 -1.26001543 -82.251892 -72.193566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26000077--1.26001543) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dl = 93.3988599996443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26000077--1.26001543) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dr = 93.3988599996443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43561427--1.43556633) × cos(-1.26000077) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.305816175268636 × 6371000     		do = 93.4041316357641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43561427--1.43556633) × cos(-1.26001543) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.305802217587914 × 6371000     		du = 93.399868600801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26000077)-sin(-1.26001543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305816175268636-0.305802217587914)×R²
    abs(-1.43556633--1.43561427)×1.39576807215991e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.39576807215991e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.39576807215991e-05×40589641000000     		ar = 8723.6403329985m²