Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35586 / 19711
↖ ↑ ↗
← N 77.313123°
W 82.260132°		 ← 67.06 m → N 77.313123°
W 82.257385°		 →
↑
67.02 m
↓
↑
67.02 m
↓
N 77.312520°
W 82.260132°		 ← 67.07 m →
4 495 m²		 N 77.312520°
W 82.257385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271503448486328 y=0.150386810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271503448486328 × 217)
    floor (0.271503448486328 × 131072)
    floor (35586.5)     		tx = 35586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150386810302734 × 217)
    floor (0.150386810302734 × 131072)
    floor (19711.5)     		ty = 19711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35586 / 19711 ti = "17/35586/19711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35586/19711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35586 ÷ 217
    35586 ÷ 131072     		x = 0.271499633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19711 ÷ 217
    19711 ÷ 131072     		y = 0.150382995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271499633789062 × 2 - 1) × π
    -0.457000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43571014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150382995605469 × 2 - 1) × π
    0.699234008789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.19670842508907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43571014} λ = -1.43571014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19670842508907))-π/2
    2×atan(8.99535582842859)-π/2
    2×1.46008244049869-π/2
    2.92016488099738-1.57079632675     		φ = 1.34936855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43571014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.260132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34936855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.313123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35586 KachelY 19711 -1.43571014 1.34936855 -82.260132 77.313123
    Oben rechts KachelX + 1 35587 KachelY 19711 -1.43566221 1.34936855 -82.257385 77.313123
    Unten links KachelX 35586 KachelY + 1 19712 -1.43571014 1.34935803 -82.260132 77.312520
    Unten rechts KachelX + 1 35587 KachelY + 1 19712 -1.43566221 1.34935803 -82.257385 77.312520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34936855-1.34935803) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dl = 67.0229200000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34936855-1.34935803) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dr = 67.0229200000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43571014--1.43566221) × cos(1.34936855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219622763904228 × 6371000     		do = 67.064453020047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43571014--1.43566221) × cos(1.34935803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219633027044924 × 6371000     		du = 67.0675869935239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34936855)-sin(1.34935803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219622763904228-0.219633027044924)×R²
    abs(-1.43566221--1.43571014)×1.02631406955489e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02631406955489e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02631406955489e-05×40589641000000     		ar = 4494.96049386265m²