Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35584 / 103675
↖ ↑ ↗
← S 71.742130°
W 82.265625°		 ← 95.69 m → S 71.742130°
W 82.262878°		 →
↑
95.63 m
↓
↑
95.63 m
↓
S 71.742990°
W 82.265625°		 ← 95.68 m →
9 150 m²		 S 71.742990°
W 82.262878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271488189697266 y=0.790981292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271488189697266 × 217)
    floor (0.271488189697266 × 131072)
    floor (35584.5)     		tx = 35584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790981292724609 × 217)
    floor (0.790981292724609 × 131072)
    floor (103675.5)     		ty = 103675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35584 / 103675 ti = "17/35584/103675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35584/103675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35584 ÷ 217
    35584 ÷ 131072     		x = 0.271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103675 ÷ 217
    103675 ÷ 131072     		y = 0.790977478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271484375 × 2 - 1) × π
    -0.45703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43580602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790977478027344 × 2 - 1) × π
    -0.581954956054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.82826541460932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43580602} λ = -1.43580602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82826541460932))-π/2
    2×atan(0.160692060270982)-π/2
    2×0.159329974993789-π/2
    0.318659949987578-1.57079632675     		φ = -1.25213638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43580602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25213638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.742130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35584 KachelY 103675 -1.43580602 -1.25213638 -82.265625 -71.742130
    Oben rechts KachelX + 1 35585 KachelY 103675 -1.43575808 -1.25213638 -82.262878 -71.742130
    Unten links KachelX 35584 KachelY + 1 103676 -1.43580602 -1.25215139 -82.265625 -71.742990
    Unten rechts KachelX + 1 35585 KachelY + 1 103676 -1.43575808 -1.25215139 -82.262878 -71.742990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25213638--1.25215139) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dl = 95.6287100002389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25213638--1.25215139) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dr = 95.6287100002389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43580602--1.43575808) × cos(-1.25213638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313294252592181 × 6371000     		do = 95.6881289356509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43580602--1.43575808) × cos(-1.25215139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313279998218804 × 6371000     		du = 95.683775283114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25213638)-sin(-1.25215139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313294252592181-0.313279998218804)×R²
    abs(-1.43575808--1.43580602)×1.42543733769873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42543733769873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42543733769873e-05×40589641000000     		ar = 9150.32416562089m²