Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35583 / 103678
↖ ↑ ↗
← S 71.744711°
W 82.268371°		 ← 95.66 m → S 71.744711°
W 82.265625°		 →
↑
95.63 m
↓
↑
95.63 m
↓
S 71.745571°
W 82.268371°		 ← 95.65 m →
9 147 m²		 S 71.745571°
W 82.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271480560302734 y=0.791004180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271480560302734 × 217)
    floor (0.271480560302734 × 131072)
    floor (35583.5)     		tx = 35583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791004180908203 × 217)
    floor (0.791004180908203 × 131072)
    floor (103678.5)     		ty = 103678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35583 / 103678 ti = "17/35583/103678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35583/103678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35583 ÷ 217
    35583 ÷ 131072     		x = 0.271476745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103678 ÷ 217
    103678 ÷ 131072     		y = 0.791000366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271476745605469 × 2 - 1) × π
    -0.457046508789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.43585395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791000366210938 × 2 - 1) × π
    -0.582000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.82840922530818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43585395} λ = -1.43585395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82840922530818))-π/2
    2×atan(0.160668952695092)-π/2
    2×0.159307448999102-π/2
    0.318614897998204-1.57079632675     		φ = -1.25218143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43585395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.268371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25218143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.744711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35583 KachelY 103678 -1.43585395 -1.25218143 -82.268371 -71.744711
    Oben rechts KachelX + 1 35584 KachelY 103678 -1.43580602 -1.25218143 -82.265625 -71.744711
    Unten links KachelX 35583 KachelY + 1 103679 -1.43585395 -1.25219644 -82.268371 -71.745571
    Unten rechts KachelX + 1 35584 KachelY + 1 103679 -1.43580602 -1.25219644 -82.265625 -71.745571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25218143--1.25219644) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dl = 95.6287100002389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25218143--1.25219644) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dr = 95.6287100002389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43585395--1.43580602) × cos(-1.25218143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313251470266903 × 6371000     		do = 95.6551048612446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43585395--1.43580602) × cos(-1.25219644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313237215681695 × 6371000     		du = 95.6507520521688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25218143)-sin(-1.25219644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313251470266903-0.313237215681695)×R²
    abs(-1.43580602--1.43585395)×1.42545852074849e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42545852074849e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42545852074849e-05×40589641000000     		ar = 9147.16615625855m²