Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35581 / 103679
↖ ↑ ↗
← S 71.745571°
W 82.273865°		 ← 95.67 m → S 71.745571°
W 82.271118°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
S 71.746432°
W 82.273865°		 ← 95.67 m →
9 155 m²		 S 71.746432°
W 82.271118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271465301513672 y=0.791011810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271465301513672 × 217)
    floor (0.271465301513672 × 131072)
    floor (35581.5)     		tx = 35581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791011810302734 × 217)
    floor (0.791011810302734 × 131072)
    floor (103679.5)     		ty = 103679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35581 / 103679 ti = "17/35581/103679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35581/103679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35581 ÷ 217
    35581 ÷ 131072     		x = 0.271461486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103679 ÷ 217
    103679 ÷ 131072     		y = 0.791007995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271461486816406 × 2 - 1) × π
    -0.457077026367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.43594983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791007995605469 × 2 - 1) × π
    -0.582015991210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.8284571622078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43594983} λ = -1.43594983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8284571622078))-π/2
    2×atan(0.160661250908236)-π/2
    2×0.159299941017831-π/2
    0.318599882035662-1.57079632675     		φ = -1.25219644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43594983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.273865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25219644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.745571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35581 KachelY 103679 -1.43594983 -1.25219644 -82.273865 -71.745571
    Oben rechts KachelX + 1 35582 KachelY 103679 -1.43590189 -1.25219644 -82.271118 -71.745571
    Unten links KachelX 35581 KachelY + 1 103680 -1.43594983 -1.25221146 -82.273865 -71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 35582 KachelY + 1 103680 -1.43590189 -1.25221146 -82.271118 -71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25219644--1.25221146) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25219644--1.25221146) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43594983--1.43590189) × cos(-1.25219644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313237215681695 × 6371000     		do = 95.6707083950586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43594983--1.43590189) × cos(-1.25221146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 95.6663517557026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25219644)-sin(-1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313237215681695-0.313222951529119)×R²
    abs(-1.43590189--1.43594983)×1.42641525759934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42641525759934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42641525759934e-05×40589641000000     		ar = 9154.75316081893m²