Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35574 / 31366
↖ ↑ ↗
← N  7.678329°
E 15.413818°		 ← 605.31 m → N  7.678329°
E 15.419311°		 →
↑
605.31 m
↓
↑
605.31 m
↓
N  7.672886°
E 15.413818°		 ← 605.32 m →
366 403 m²		 N  7.672886°
E 15.419311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542823791503906 y=0.478614807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542823791503906 × 216)
    floor (0.542823791503906 × 65536)
    floor (35574.5)     		tx = 35574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478614807128906 × 216)
    floor (0.478614807128906 × 65536)
    floor (31366.5)     		ty = 31366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35574 / 31366 ti = "16/35574/31366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35574/31366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35574 ÷ 216
    35574 ÷ 65536     		x = 0.542816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31366 ÷ 216
    31366 ÷ 65536     		y = 0.478607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542816162109375 × 2 - 1) × π
    0.08563232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26902188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478607177734375 × 2 - 1) × π
    0.04278564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.134415066534637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26902188} λ = 0.26902188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134415066534637))-π/2
    2×atan(1.14386750224564)-π/2
    2×0.852404228326986-π/2
    1.70480845665397-1.57079632675     		φ = 0.13401213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26902188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.413818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13401213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.678329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35574 KachelY 31366 0.26902188 0.13401213 15.413818 7.678329
    Oben rechts KachelX + 1 35575 KachelY 31366 0.26911775 0.13401213 15.419311 7.678329
    Unten links KachelX 35574 KachelY + 1 31367 0.26902188 0.13391712 15.413818 7.672886
    Unten rechts KachelX + 1 35575 KachelY + 1 31367 0.26911775 0.13391712 15.419311 7.672886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13401213-0.13391712) × R
    9.50100000000065e-05 × 6371000     		dl = 605.308710000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13401213-0.13391712) × R
    9.50100000000065e-05 × 6371000     		dr = 605.308710000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26902188-0.26911775) × cos(0.13401213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991033805409565 × 6371000     		do = 605.311328000709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26902188-0.26911775) × cos(0.13391712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991046495352239 × 6371000     		du = 605.319078862496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13401213)-sin(0.13391712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991033805409565-0.991046495352239)×R²
    abs(0.26911775-0.26902188)×1.26899426735605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26899426735605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26899426735605e-05×40589641000000     		ar = 366402.565208281m²