Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35571 / 31369
↖ ↑ ↗
← N  7.661997°
E 15.397339°		 ← 605.33 m → N  7.661997°
E 15.402832°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
N  7.656553°
E 15.397339°		 ← 605.34 m →
366 455 m²		 N  7.656553°
E 15.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542778015136719 y=0.478660583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542778015136719 × 216)
    floor (0.542778015136719 × 65536)
    floor (35571.5)     		tx = 35571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478660583496094 × 216)
    floor (0.478660583496094 × 65536)
    floor (31369.5)     		ty = 31369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35571 / 31369 ti = "16/35571/31369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35571/31369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35571 ÷ 216
    35571 ÷ 65536     		x = 0.542770385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31369 ÷ 216
    31369 ÷ 65536     		y = 0.478652954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542770385742188 × 2 - 1) × π
    0.085540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26873426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478652954101562 × 2 - 1) × π
    0.042694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134127445136917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26873426} λ = 0.26873426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134127445136917))-π/2
    2×atan(1.14353854878513)-π/2
    2×0.852261704326219-π/2
    1.70452340865244-1.57079632675     		φ = 0.13372708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26873426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.397339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13372708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.661997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35571 KachelY 31369 0.26873426 0.13372708 15.397339 7.661997
    Oben rechts KachelX + 1 35572 KachelY 31369 0.26883013 0.13372708 15.402832 7.661997
    Unten links KachelX 35571 KachelY + 1 31370 0.26873426 0.13363206 15.397339 7.656553
    Unten rechts KachelX + 1 35572 KachelY + 1 31370 0.26883013 0.13363206 15.402832 7.656553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13372708-0.13363206) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13372708-0.13363206) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26873426-0.26883013) × cos(0.13372708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991071851065816 × 6371000     		do = 605.334565822249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26873426-0.26883013) × cos(0.13363206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991084515500377 × 6371000     		du = 605.342301103992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13372708)-sin(0.13363206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991071851065816-0.991084515500377)×R²
    abs(0.26883013-0.26873426)×1.26644345608273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26644345608273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26644345608273e-05×40589641000000     		ar = 366455.192660341m²