Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3557 / 4593
↖ ↑ ↗
← N 78.096030°
W140.921631°		 ← 251.99 m → N 78.096030°
W140.910645°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
N 78.093763°
W140.921631°		 ← 252.04 m →
63 517 m²		 N 78.093763°
W140.910645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108566284179688 y=0.140182495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108566284179688 × 215)
    floor (0.108566284179688 × 32768)
    floor (3557.5)     		tx = 3557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140182495117188 × 215)
    floor (0.140182495117188 × 32768)
    floor (4593.5)     		ty = 4593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3557 / 4593 ti = "15/3557/4593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3557/4593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3557 ÷ 215
    3557 ÷ 32768     		x = 0.108551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4593 ÷ 215
    4593 ÷ 32768     		y = 0.140167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108551025390625 × 2 - 1) × π
    -0.78289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45954645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140167236328125 × 2 - 1) × π
    0.71966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26089593368033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45954645} λ = -2.45954645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26089593368033))-π/2
    2×atan(9.59167882641859)-π/2
    2×1.46691458836704-π/2
    2.93382917673408-1.57079632675     		φ = 1.36303285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45954645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.921631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36303285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.096030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3557 KachelY 4593 -2.45954645 1.36303285 -140.921631 78.096030
    Oben rechts KachelX + 1 3558 KachelY 4593 -2.45935470 1.36303285 -140.910645 78.096030
    Unten links KachelX 3557 KachelY + 1 4594 -2.45954645 1.36299329 -140.921631 78.093763
    Unten rechts KachelX + 1 3558 KachelY + 1 4594 -2.45935470 1.36299329 -140.910645 78.093763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36303285-1.36299329) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dl = 252.036760000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36303285-1.36299329) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dr = 252.036760000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45954645--2.45935470) × cos(1.36303285) × R
    0.000191749999999935 × 0.206271991471827 × 6371000     		do = 251.989960957564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45954645--2.45935470) × cos(1.36299329) × R
    0.000191749999999935 × 0.206310700560491 × 6371000     		du = 252.037249499608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36303285)-sin(1.36299329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206271991471827-0.206310700560491)×R²
    abs(-2.45935470--2.45954645)×3.87090886642405e-05×R²
    0.000191749999999935×3.87090886642405e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.87090886642405e-05×40589641000000     		ar = 63516.6925461237m²