Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35568 / 31367
↖ ↑ ↗
← N  7.672886°
E 15.380859°		 ← 605.32 m → N  7.672886°
E 15.386352°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
N  7.667442°
E 15.380859°		 ← 605.33 m →
366 446 m²		 N  7.667442°
E 15.386352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542732238769531 y=0.478630065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542732238769531 × 216)
    floor (0.542732238769531 × 65536)
    floor (35568.5)     		tx = 35568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478630065917969 × 216)
    floor (0.478630065917969 × 65536)
    floor (31367.5)     		ty = 31367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35568 / 31367 ti = "16/35568/31367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35568/31367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35568 ÷ 216
    35568 ÷ 65536     		x = 0.542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31367 ÷ 216
    31367 ÷ 65536     		y = 0.478622436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542724609375 × 2 - 1) × π
    0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478622436523438 × 2 - 1) × π
    0.042755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.134319192735397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26844664} λ = 0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134319192735397))-π/2
    2×atan(1.1437578405793)-π/2
    2×0.852356720934726-π/2
    1.70471344186945-1.57079632675     		φ = 0.13391712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13391712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.672886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35568 KachelY 31367 0.26844664 0.13391712 15.380859 7.672886
    Oben rechts KachelX + 1 35569 KachelY 31367 0.26854251 0.13391712 15.386352 7.672886
    Unten links KachelX 35568 KachelY + 1 31368 0.26844664 0.13382210 15.380859 7.667442
    Unten rechts KachelX + 1 35569 KachelY + 1 31368 0.26854251 0.13382210 15.386352 7.667442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13391712-0.13382210) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13391712-0.13382210) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26844664-0.26854251) × cos(0.13391712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991046495352239 × 6371000     		do = 605.319078862496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26844664-0.26854251) × cos(0.13382210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991059177683065 × 6371000     		du = 605.32682507506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13391712)-sin(0.13382210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991046495352239-0.991059177683065)×R²
    abs(0.26854251-0.26844664)×1.26823308262969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26823308262969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26823308262969e-05×40589641000000     		ar = 366445.820590609m²