Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35567 / 48144
↖ ↑ ↗
← S 64.206377°
E 15.375366°		 ← 265.80 m → S 64.206377°
E 15.380859°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 64.208767°
E 15.375366°		 ← 265.78 m →
70 646 m²		 S 64.208767°
E 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542716979980469 y=0.734626770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542716979980469 × 216)
    floor (0.542716979980469 × 65536)
    floor (35567.5)     		tx = 35567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734626770019531 × 216)
    floor (0.734626770019531 × 65536)
    floor (48144.5)     		ty = 48144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35567 / 48144 ti = "16/35567/48144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35567/48144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35567 ÷ 216
    35567 ÷ 65536     		x = 0.542709350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48144 ÷ 216
    48144 ÷ 65536     		y = 0.734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542709350585938 × 2 - 1) × π
    0.085418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26835076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.46923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47415553711597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26835076} λ = 0.26835076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47415553711597))-π/2
    2×atan(0.228972003784899)-π/2
    2×0.225091821570841-π/2
    0.450183643141682-1.57079632675     		φ = -1.12061268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26835076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.375366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12061268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.206377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35567 KachelY 48144 0.26835076 -1.12061268 15.375366 -64.206377
    Oben rechts KachelX + 1 35568 KachelY 48144 0.26844664 -1.12061268 15.380859 -64.206377
    Unten links KachelX 35567 KachelY + 1 48145 0.26835076 -1.12065440 15.375366 -64.208767
    Unten rechts KachelX + 1 35568 KachelY + 1 48145 0.26844664 -1.12065440 15.380859 -64.208767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12061268--1.12065440) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12061268--1.12065440) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26835076-0.26844664) × cos(-1.12061268) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.435130890999766 × 6371000     		do = 265.800348760906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26835076-0.26844664) × cos(-1.12065440) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.43509332730121 × 6371000     		du = 265.777402920048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12061268)-sin(-1.12065440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435130890999766-0.43509332730121)×R²
    abs(0.26844664-0.26835076)×3.75636985565087e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.75636985565087e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.75636985565087e-05×40589641000000     		ar = 70646.1835252389m²