Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35567 / 31370
↖ ↑ ↗
← N  7.656553°
E 15.375366°		 ← 605.41 m → N  7.656553°
E 15.380859°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
N  7.651109°
E 15.375366°		 ← 605.41 m →
366 498 m²		 N  7.651109°
E 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542716979980469 y=0.478675842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542716979980469 × 216)
    floor (0.542716979980469 × 65536)
    floor (35567.5)     		tx = 35567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478675842285156 × 216)
    floor (0.478675842285156 × 65536)
    floor (31370.5)     		ty = 31370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35567 / 31370 ti = "16/35567/31370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35567/31370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35567 ÷ 216
    35567 ÷ 65536     		x = 0.542709350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31370 ÷ 216
    31370 ÷ 65536     		y = 0.478668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542709350585938 × 2 - 1) × π
    0.085418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26835076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478668212890625 × 2 - 1) × π
    0.04266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134031571337677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26835076} λ = 0.26835076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134031571337677))-π/2
    2×atan(1.1434289186553)-π/2
    2×0.852214195110813-π/2
    1.70442839022163-1.57079632675     		φ = 0.13363206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26835076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.375366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13363206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.656553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35567 KachelY 31370 0.26835076 0.13363206 15.375366 7.656553
    Oben rechts KachelX + 1 35568 KachelY 31370 0.26844664 0.13363206 15.380859 7.656553
    Unten links KachelX 35567 KachelY + 1 31371 0.26835076 0.13353704 15.375366 7.651109
    Unten rechts KachelX + 1 35568 KachelY + 1 31371 0.26844664 0.13353704 15.380859 7.651109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13363206-0.13353704) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13363206-0.13353704) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26835076-0.26844664) × cos(0.13363206) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.991084515500377 × 6371000     		do = 605.405443098442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26835076-0.26844664) × cos(0.13353704) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.991097170986633 × 6371000     		du = 605.413173720952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13363206)-sin(0.13353704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991084515500377-0.991097170986633)×R²
    abs(0.26844664-0.26835076)×1.26554862566186e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.26554862566186e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.26554862566186e-05×40589641000000     		ar = 366498.098398282m²