Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35564 / 48108
↖ ↑ ↗
← S 64.120194°
E 15.358887°		 ← 266.63 m → S 64.120194°
E 15.364380°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
S 64.122592°
E 15.358887°		 ← 266.60 m →
71 087 m²		 S 64.122592°
E 15.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542671203613281 y=0.734077453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542671203613281 × 216)
    floor (0.542671203613281 × 65536)
    floor (35564.5)     		tx = 35564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734077453613281 × 216)
    floor (0.734077453613281 × 65536)
    floor (48108.5)     		ty = 48108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35564 / 48108 ti = "16/35564/48108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35564/48108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35564 ÷ 216
    35564 ÷ 65536     		x = 0.54266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48108 ÷ 216
    48108 ÷ 65536     		y = 0.73406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54266357421875 × 2 - 1) × π
    0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.4681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47070408034332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26806314} λ = 0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47070408034332))-π/2
    2×atan(0.229763656149182)-π/2
    2×0.225843906989582-π/2
    0.451687813979163-1.57079632675     		φ = -1.11910851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11910851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.120194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35564 KachelY 48108 0.26806314 -1.11910851 15.358887 -64.120194
    Oben rechts KachelX + 1 35565 KachelY 48108 0.26815902 -1.11910851 15.364380 -64.120194
    Unten links KachelX 35564 KachelY + 1 48109 0.26806314 -1.11915036 15.358887 -64.122592
    Unten rechts KachelX + 1 35565 KachelY + 1 48109 0.26815902 -1.11915036 15.364380 -64.122592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11910851--1.11915036) × R
    4.18499999998989e-05 × 6371000     		dl = 266.626349999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11910851--1.11915036) × R
    4.18499999998989e-05 × 6371000     		dr = 266.626349999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26806314-0.26815902) × cos(-1.11910851) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.436484703583355 × 6371000     		do = 266.627327181388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26806314-0.26815902) × cos(-1.11915036) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.436447050267407 × 6371000     		du = 266.604326597614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11910851)-sin(-1.11915036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436484703583355-0.436447050267407)×R²
    abs(0.26815902-0.26806314)×3.76533159479608e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.76533159479608e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.76533159479608e-05×40589641000000     		ar = 71086.8047857142m²