Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3556 / 4596
↖ ↑ ↗
← N 78.089229°
W140.932617°		 ← 252.12 m → N 78.089229°
W140.921631°		 →
↑
252.16 m
↓
↑
252.16 m
↓
N 78.086961°
W140.932617°		 ← 252.17 m →
63 581 m²		 N 78.086961°
W140.921631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108535766601562 y=0.140274047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108535766601562 × 215)
    floor (0.108535766601562 × 32768)
    floor (3556.5)     		tx = 3556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140274047851562 × 215)
    floor (0.140274047851562 × 32768)
    floor (4596.5)     		ty = 4596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3556 / 4596 ti = "15/3556/4596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3556/4596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3556 ÷ 215
    3556 ÷ 32768     		x = 0.1085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4596 ÷ 215
    4596 ÷ 32768     		y = 0.1402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45973819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1402587890625 × 2 - 1) × π
    0.719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26032069088489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45973819} λ = -2.45973819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26032069088489))-π/2
    2×atan(9.58616286893702)-π/2
    2×1.46685524342843-π/2
    2.93371048685685-1.57079632675     		φ = 1.36291416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45973819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36291416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.089229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3556 KachelY 4596 -2.45973819 1.36291416 -140.932617 78.089229
    Oben rechts KachelX + 1 3557 KachelY 4596 -2.45954645 1.36291416 -140.921631 78.089229
    Unten links KachelX 3556 KachelY + 1 4597 -2.45973819 1.36287458 -140.932617 78.086961
    Unten rechts KachelX + 1 3557 KachelY + 1 4597 -2.45954645 1.36287458 -140.921631 78.086961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36291416-1.36287458) × R
    3.95800000001501e-05 × 6371000     		dl = 252.164180000956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36291416-1.36287458) × R
    3.95800000001501e-05 × 6371000     		dr = 252.164180000956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45973819--2.45954645) × cos(1.36291416) × R
    0.000191739999999996 × 0.206388127553836 × 6371000     		do = 252.118688366161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45973819--2.45954645) × cos(1.36287458) × R
    0.000191739999999996 × 0.206426855242853 × 6371000     		du = 252.165997163785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36291416)-sin(1.36287458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206388127553836-0.206426855242853)×R²
    abs(-2.45954645--2.45973819)×3.87276890169153e-05×R²
    0.000191739999999996×3.87276890169153e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.87276890169153e-05×40589641000000     		ar = 63581.2671146329m²