Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35559 / 47963
↖ ↑ ↗
← S 63.770350°
E 15.331421°		 ← 269.98 m → S 63.770350°
E 15.336914°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 63.772777°
E 15.331421°		 ← 269.95 m →
72 875 m²		 S 63.772777°
E 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542594909667969 y=0.731864929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542594909667969 × 216)
    floor (0.542594909667969 × 65536)
    floor (35559.5)     		tx = 35559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731864929199219 × 216)
    floor (0.731864929199219 × 65536)
    floor (47963.5)     		ty = 47963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35559 / 47963 ti = "16/35559/47963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35559/47963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35559 ÷ 216
    35559 ÷ 65536     		x = 0.542587280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47963 ÷ 216
    47963 ÷ 65536     		y = 0.731857299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542587280273438 × 2 - 1) × π
    0.085174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26758377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731857299804688 × 2 - 1) × π
    -0.463714599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45680237945351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26758377} λ = 0.26758377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45680237945351))-π/2
    2×atan(0.232980066762059)-π/2
    2×0.228896880844495-π/2
    0.457793761688991-1.57079632675     		φ = -1.11300257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26758377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.331421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11300257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.770350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35559 KachelY 47963 0.26758377 -1.11300257 15.331421 -63.770350
    Oben rechts KachelX + 1 35560 KachelY 47963 0.26767965 -1.11300257 15.336914 -63.770350
    Unten links KachelX 35559 KachelY + 1 47964 0.26758377 -1.11304494 15.331421 -63.772777
    Unten rechts KachelX + 1 35560 KachelY + 1 47964 0.26767965 -1.11304494 15.336914 -63.772777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11300257--1.11304494) × R
    4.23700000000693e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11300257--1.11304494) × R
    4.23700000000693e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26758377-0.26767965) × cos(-1.11300257) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441970118374926 × 6371000     		do = 269.978100925078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26758377-0.26767965) × cos(-1.11304494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44193211082672 × 6371000     		du = 269.954883958005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11300257)-sin(-1.11304494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441970118374926-0.44193211082672)×R²
    abs(0.26767965-0.26758377)×3.80075482060982e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80075482060982e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80075482060982e-05×40589641000000     		ar = 72874.5579052637m²