Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35556 / 104196
↖ ↑ ↗
← S 72.185165°
W 82.342529°		 ← 93.44 m → S 72.185165°
W 82.339783°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
S 72.186006°
W 82.342529°		 ← 93.44 m →
8 733 m²		 S 72.186006°
W 82.339783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271274566650391 y=0.794956207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271274566650391 × 217)
    floor (0.271274566650391 × 131072)
    floor (35556.5)     		tx = 35556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794956207275391 × 217)
    floor (0.794956207275391 × 131072)
    floor (104196.5)     		ty = 104196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35556 / 104196 ti = "17/35556/104196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35556/104196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35556 ÷ 217
    35556 ÷ 131072     		x = 0.271270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104196 ÷ 217
    104196 ÷ 131072     		y = 0.794952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.45745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43714825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.58990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85324053931137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43714825} λ = -1.43714825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85324053931137))-π/2
    2×atan(0.156728457785138)-π/2
    2×0.155463762881416-π/2
    0.310927525762832-1.57079632675     		φ = -1.25986880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43714825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.342529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25986880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.185165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35556 KachelY 104196 -1.43714825 -1.25986880 -82.342529 -72.185165
    Oben rechts KachelX + 1 35557 KachelY 104196 -1.43710031 -1.25986880 -82.339783 -72.185165
    Unten links KachelX 35556 KachelY + 1 104197 -1.43714825 -1.25988347 -82.342529 -72.186006
    Unten rechts KachelX + 1 35557 KachelY + 1 104197 -1.43710031 -1.25988347 -82.339783 -72.186006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25986880--1.25988347) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dl = 93.4625699992571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25986880--1.25988347) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dr = 93.4625699992571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43714825--1.43710031) × cos(-1.25986880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.305941819998667 × 6371000     		do = 93.4425067699784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43714825--1.43710031) × cos(-1.25988347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.305927853389163 × 6371000     		du = 93.4382410079354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25986880)-sin(-1.25988347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305941819998667-0.305927853389163)×R²
    abs(-1.43710031--1.43714825)×1.39666095040347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39666095040347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39666095040347e-05×40589641000000     		ar = 8733.17748539723m²