Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35553 / 31330
↖ ↑ ↗
← N  7.874265°
E 15.298462°		 ← 605.03 m → N  7.874265°
E 15.303955°		 →
↑
605.12 m
↓
↑
605.12 m
↓
N  7.868823°
E 15.298462°		 ← 605.04 m →
366 116 m²		 N  7.868823°
E 15.303955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542503356933594 y=0.478065490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542503356933594 × 216)
    floor (0.542503356933594 × 65536)
    floor (35553.5)     		tx = 35553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478065490722656 × 216)
    floor (0.478065490722656 × 65536)
    floor (31330.5)     		ty = 31330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35553 / 31330 ti = "16/35553/31330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35553/31330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35553 ÷ 216
    35553 ÷ 65536     		x = 0.542495727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31330 ÷ 216
    31330 ÷ 65536     		y = 0.478057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542495727539062 × 2 - 1) × π
    0.084991455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26700853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478057861328125 × 2 - 1) × π
    0.04388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.137866523307281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26700853} λ = 0.26700853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137866523307281))-π/2
    2×atan(1.14782233252013)-π/2
    2×0.85411408587902-π/2
    1.70822817175804-1.57079632675     		φ = 0.13743185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26700853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.298462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13743185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.874265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35553 KachelY 31330 0.26700853 0.13743185 15.298462 7.874265
    Oben rechts KachelX + 1 35554 KachelY 31330 0.26710440 0.13743185 15.303955 7.874265
    Unten links KachelX 35553 KachelY + 1 31331 0.26700853 0.13733687 15.298462 7.868823
    Unten rechts KachelX + 1 35554 KachelY + 1 31331 0.26710440 0.13733687 15.303955 7.868823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13743185-0.13733687) × R
    9.49799999999945e-05 × 6371000     		dl = 605.117579999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13743185-0.13733687) × R
    9.49799999999945e-05 × 6371000     		dr = 605.117579999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26700853-0.26710440) × cos(0.13743185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990571098037847 × 6371000     		do = 605.028711996975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26700853-0.26710440) × cos(0.13733687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990584105795 × 6371000     		du = 605.036656975959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13743185)-sin(0.13733687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990571098037847-0.990584105795)×R²
    abs(0.26710440-0.26700853)×1.30077571530718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.30077571530718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.30077571530718e-05×40589641000000     		ar = 366115.914132556m²