Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35550 / 48223
↖ ↑ ↗
← S 64.394564°
E 15.281982°		 ← 263.96 m → S 64.394564°
E 15.287475°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 64.396938°
E 15.281982°		 ← 263.94 m →
69 671 m²		 S 64.396938°
E 15.287475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542457580566406 y=0.735832214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542457580566406 × 216)
    floor (0.542457580566406 × 65536)
    floor (35550.5)     		tx = 35550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735832214355469 × 216)
    floor (0.735832214355469 × 65536)
    floor (48223.5)     		ty = 48223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35550 / 48223 ti = "16/35550/48223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35550/48223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35550 ÷ 216
    35550 ÷ 65536     		x = 0.542449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48223 ÷ 216
    48223 ÷ 65536     		y = 0.735824584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542449951171875 × 2 - 1) × π
    0.08489990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26672091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735824584960938 × 2 - 1) × π
    -0.471649169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48172956725594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26672091} λ = 0.26672091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48172956725594))-π/2
    2×atan(0.227244313973579)-π/2
    2×0.223449583220735-π/2
    0.44689916644147-1.57079632675     		φ = -1.12389716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26672091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.281982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12389716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.394564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35550 KachelY 48223 0.26672091 -1.12389716 15.281982 -64.394564
    Oben rechts KachelX + 1 35551 KachelY 48223 0.26681678 -1.12389716 15.287475 -64.394564
    Unten links KachelX 35550 KachelY + 1 48224 0.26672091 -1.12393859 15.281982 -64.396938
    Unten rechts KachelX + 1 35551 KachelY + 1 48224 0.26681678 -1.12393859 15.287475 -64.396938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12389716--1.12393859) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12389716--1.12393859) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26672091-0.26681678) × cos(-1.12389716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432171311179935 × 6371000     		do = 263.964951413563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26672091-0.26681678) × cos(-1.12393859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432133949586091 × 6371000     		du = 263.942131408975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12389716)-sin(-1.12393859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432171311179935-0.432133949586091)×R²
    abs(0.26681678-0.26672091)×3.73615938433769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73615938433769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73615938433769e-05×40589641000000     		ar = 69670.6771609185m²