Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3555 / 2531
↖ ↑ ↗
← N 76.985098°
W101.887207°		 ← 550.24 m → N 76.985098°
W101.865234°		 →
↑
550.33 m
↓
↑
550.33 m
↓
N 76.980149°
W101.887207°		 ← 550.44 m →
302 867 m²		 N 76.980149°
W101.865234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217010498046875 y=0.154510498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217010498046875 × 214)
    floor (0.217010498046875 × 16384)
    floor (3555.5)     		tx = 3555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154510498046875 × 214)
    floor (0.154510498046875 × 16384)
    floor (2531.5)     		ty = 2531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3555 / 2531 ti = "14/3555/2531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3555/2531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3555 ÷ 214
    3555 ÷ 16384     		x = 0.21697998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2531 ÷ 214
    2531 ÷ 16384     		y = 0.15447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.5660400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77826723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15447998046875 × 2 - 1) × π
    0.6910400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1709663099931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77826723} λ = -1.77826723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1709663099931))-π/2
    2×atan(8.76675134849502)-π/2
    2×1.45721988454353-π/2
    2.91443976908707-1.57079632675     		φ = 1.34364344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77826723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.887207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34364344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.985098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3555 KachelY 2531 -1.77826723 1.34364344 -101.887207 76.985098
    Oben rechts KachelX + 1 3556 KachelY 2531 -1.77788373 1.34364344 -101.865234 76.985098
    Unten links KachelX 3555 KachelY + 1 2532 -1.77826723 1.34355706 -101.887207 76.980149
    Unten rechts KachelX + 1 3556 KachelY + 1 2532 -1.77788373 1.34355706 -101.865234 76.980149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34364344-1.34355706) × R
    8.63799999999415e-05 × 6371000     		dl = 550.326979999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34364344-1.34355706) × R
    8.63799999999415e-05 × 6371000     		dr = 550.326979999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77826723--1.77788373) × cos(1.34364344) × R
    0.00038349999999987 × 0.225204464831397 × 6371000     		do = 550.237227026371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77826723--1.77788373) × cos(1.34355706) × R
    0.00038349999999987 × 0.225288625020696 × 6371000     		du = 550.442853807442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34364344)-sin(1.34355706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225204464831397-0.225288625020696)×R²
    abs(-1.77788373--1.77826723)×8.4160189299104e-05×R²
    0.00038349999999987×8.4160189299104e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.4160189299104e-05×40589641000000     		ar = 302866.972603708m²