Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35549 / 31331
↖ ↑ ↗
← N  7.868823°
E 15.276490°		 ← 605.04 m → N  7.868823°
E 15.281982°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
N  7.863382°
E 15.276490°		 ← 605.04 m →
366 082 m²		 N  7.863382°
E 15.281982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542442321777344 y=0.478080749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542442321777344 × 216)
    floor (0.542442321777344 × 65536)
    floor (35549.5)     		tx = 35549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478080749511719 × 216)
    floor (0.478080749511719 × 65536)
    floor (31331.5)     		ty = 31331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35549 / 31331 ti = "16/35549/31331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35549/31331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35549 ÷ 216
    35549 ÷ 65536     		x = 0.542434692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31331 ÷ 216
    31331 ÷ 65536     		y = 0.478073120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542434692382812 × 2 - 1) × π
    0.084869384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26662504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478073120117188 × 2 - 1) × π
    0.043853759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.137770649508041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26662504} λ = 0.26662504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137770649508041))-π/2
    2×atan(1.14771229170736)-π/2
    2×0.854066600659914-π/2
    1.70813320131983-1.57079632675     		φ = 0.13733687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26662504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.276490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13733687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.868823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35549 KachelY 31331 0.26662504 0.13733687 15.276490 7.868823
    Oben rechts KachelX + 1 35550 KachelY 31331 0.26672091 0.13733687 15.281982 7.868823
    Unten links KachelX 35549 KachelY + 1 31332 0.26662504 0.13724190 15.276490 7.863382
    Unten rechts KachelX + 1 35550 KachelY + 1 31332 0.26672091 0.13724190 15.281982 7.863382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13733687-0.13724190) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13733687-0.13724190) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26662504-0.26672091) × cos(0.13733687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990584105795 × 6371000     		do = 605.036656975959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26662504-0.26672091) × cos(0.13724190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990597103247781 × 6371000     		du = 605.044595661159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13733687)-sin(0.13724190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990584105795-0.990597103247781)×R²
    abs(0.26672091-0.26662504)×1.29974527807164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.29974527807164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.29974527807164e-05×40589641000000     		ar = 366082.172736483m²