Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3554 / 2754
↖ ↑ ↗
← N 50.680797°
W 23.818359°		 ← 3 096.28 m → N 50.680797°
W 23.774414°		 →
↑
3 097.20 m
↓
↑
3 097.20 m
↓
N 50.652944°
W 23.818359°		 ← 3 098.12 m →
9 592 633 m²		 N 50.652944°
W 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43389892578125 y=0.33624267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43389892578125 × 213)
    floor (0.43389892578125 × 8192)
    floor (3554.5)     		tx = 3554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33624267578125 × 213)
    floor (0.33624267578125 × 8192)
    floor (2754.5)     		ty = 2754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3554 / 2754 ti = "13/3554/2754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3554/2754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3554 ÷ 213
    3554 ÷ 8192     		x = 0.433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2754 ÷ 213
    2754 ÷ 8192     		y = 0.336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336181640625 × 2 - 1) × π
    0.32763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02930110864185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41570879} λ = -0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02930110864185))-π/2
    2×atan(2.79910887792333)-π/2
    2×1.22767155224873-π/2
    2.45534310449746-1.57079632675     		φ = 0.88454678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88454678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.680797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3554 KachelY 2754 -0.41570879 0.88454678 -23.818359 50.680797
    Oben rechts KachelX + 1 3555 KachelY 2754 -0.41494180 0.88454678 -23.774414 50.680797
    Unten links KachelX 3554 KachelY + 1 2755 -0.41570879 0.88406064 -23.818359 50.652944
    Unten rechts KachelX + 1 3555 KachelY + 1 2755 -0.41494180 0.88406064 -23.774414 50.652944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88454678-0.88406064) × R
    0.000486140000000024 × 6371000     		dl = 3097.19794000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88454678-0.88406064) × R
    0.000486140000000024 × 6371000     		dr = 3097.19794000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41570879--0.41494180) × cos(0.88454678) × R
    0.000766989999999967 × 0.633640190185394 × 6371000     		do = 3096.27853761512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41570879--0.41494180) × cos(0.88406064) × R
    0.000766989999999967 × 0.634016206757387 × 6371000     		du = 3098.11594007109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88454678)-sin(0.88406064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633640190185394-0.634016206757387)×R²
    abs(-0.41494180--0.41570879)×0.000376016571993154×R²
    0.000766989999999967×0.000376016571993154×6371000²
    0.000766989999999967×0.000376016571993154×40589641000000     		ar = 9592633.0968389m²