Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35522 / 47893
↖ ↑ ↗
← S 63.599890°
E 15.128174°		 ← 271.61 m → S 63.599890°
E 15.133667°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
S 63.602333°
E 15.128174°		 ← 271.58 m →
73 764 m²		 S 63.602333°
E 15.133667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542030334472656 y=0.730796813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542030334472656 × 216)
    floor (0.542030334472656 × 65536)
    floor (35522.5)     		tx = 35522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730796813964844 × 216)
    floor (0.730796813964844 × 65536)
    floor (47893.5)     		ty = 47893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35522 / 47893 ti = "16/35522/47893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35522/47893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35522 ÷ 216
    35522 ÷ 65536     		x = 0.542022705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47893 ÷ 216
    47893 ÷ 65536     		y = 0.730789184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542022705078125 × 2 - 1) × π
    0.08404541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26403644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730789184570312 × 2 - 1) × π
    -0.461578369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4500912135067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26403644} λ = 0.26403644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4500912135067))-π/2
    2×atan(0.234548893091025)-π/2
    2×0.230384419162469-π/2
    0.460768838324938-1.57079632675     		φ = -1.11002749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26403644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.128174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11002749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.599890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35522 KachelY 47893 0.26403644 -1.11002749 15.128174 -63.599890
    Oben rechts KachelX + 1 35523 KachelY 47893 0.26413232 -1.11002749 15.133667 -63.599890
    Unten links KachelX 35522 KachelY + 1 47894 0.26403644 -1.11007012 15.128174 -63.602333
    Unten rechts KachelX + 1 35523 KachelY + 1 47894 0.26413232 -1.11007012 15.133667 -63.602333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11002749--1.11007012) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dl = 271.595730000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11002749--1.11007012) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dr = 271.595730000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26403644-0.26413232) × cos(-1.11002749) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444636893816825 × 6371000     		do = 271.60710465059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26403644-0.26413232) × cos(-1.11007012) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444598709256759 × 6371000     		du = 271.58377955556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11002749)-sin(-1.11007012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444636893816825-0.444598709256759)×R²
    abs(0.26413232-0.26403644)×3.81845600659347e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81845600659347e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81845600659347e-05×40589641000000     		ar = 73764.1623741193m²