Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35520 / 1472
↖ ↑ ↗
← N 84.689806°
W 82.441406°		 ← 28.27 m → N 84.689806°
W 82.438660°		 →
↑
28.29 m
↓
↑
28.29 m
↓
N 84.689551°
W 82.441406°		 ← 28.27 m →
800 m²		 N 84.689551°
W 82.438660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.270999908447266 y=0.0112342834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.270999908447266 × 217)
    floor (0.270999908447266 × 131072)
    floor (35520.5)     		tx = 35520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0112342834472656 × 217)
    floor (0.0112342834472656 × 131072)
    floor (1472.5)     		ty = 1472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35520 / 1472 ti = "17/35520/1472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35520/1472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35520 ÷ 217
    35520 ÷ 131072     		x = 0.27099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1472 ÷ 217
    1472 ÷ 131072     		y = 0.01123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27099609375 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43887398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.01123046875 × 2 - 1) × π
    0.9775390625 × 3.1415926535     		Φ = 3.07102953725928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43887398} λ = -1.43887398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.07102953725928))-π/2
    2×atan(21.5640922869982)-π/2
    2×1.52445613867757-π/2
    3.04891227735513-1.57079632675     		φ = 1.47811595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43887398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47811595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.689806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35520 KachelY 1472 -1.43887398 1.47811595 -82.441406 84.689806
    Oben rechts KachelX + 1 35521 KachelY 1472 -1.43882604 1.47811595 -82.438660 84.689806
    Unten links KachelX 35520 KachelY + 1 1473 -1.43887398 1.47811151 -82.441406 84.689551
    Unten rechts KachelX + 1 35521 KachelY + 1 1473 -1.43882604 1.47811151 -82.438660 84.689551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47811595-1.47811151) × R
    4.44000000010547e-06 × 6371000     		dl = 28.287240000672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47811595-1.47811151) × R
    4.44000000010547e-06 × 6371000     		dr = 28.287240000672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43887398--1.43882604) × cos(1.47811595) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.0925477517334698 × 6371000     		do = 28.2664655586437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43887398--1.43882604) × cos(1.47811151) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.0925521726771754 × 6371000     		du = 28.2678158286465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47811595)-sin(1.47811151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0925477517334698-0.0925521726771754)×R²
    abs(-1.43882604--1.43887398)×4.42094370567414e-06×R²
    4.79400000001906e-05×4.42094370567414e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×4.42094370567414e-06×40589641000000     		ar = 799.599392985489m²