Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35517 / 48165
↖ ↑ ↗
← S 64.256527°
E 15.100708°		 ← 265.32 m → S 64.256527°
E 15.106201°		 →
↑
265.29 m
↓
↑
265.29 m
↓
S 64.258913°
E 15.100708°		 ← 265.30 m →
70 383 m²		 S 64.258913°
E 15.106201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541954040527344 y=0.734947204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541954040527344 × 216)
    floor (0.541954040527344 × 65536)
    floor (35517.5)     		tx = 35517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734947204589844 × 216)
    floor (0.734947204589844 × 65536)
    floor (48165.5)     		ty = 48165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35517 / 48165 ti = "16/35517/48165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35517/48165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35517 ÷ 216
    35517 ÷ 65536     		x = 0.541946411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48165 ÷ 216
    48165 ÷ 65536     		y = 0.734939575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541946411132812 × 2 - 1) × π
    0.083892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26355707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734939575195312 × 2 - 1) × π
    -0.469879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47616888690001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26355707} λ = 0.26355707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47616888690001))-π/2
    2×atan(0.228511466817098)-π/2
    2×0.224654183072735-π/2
    0.44930836614547-1.57079632675     		φ = -1.12148796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26355707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.100708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12148796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.256527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35517 KachelY 48165 0.26355707 -1.12148796 15.100708 -64.256527
    Oben rechts KachelX + 1 35518 KachelY 48165 0.26365295 -1.12148796 15.106201 -64.256527
    Unten links KachelX 35517 KachelY + 1 48166 0.26355707 -1.12152960 15.100708 -64.258913
    Unten rechts KachelX + 1 35518 KachelY + 1 48166 0.26365295 -1.12152960 15.106201 -64.258913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12148796--1.12152960) × R
    4.16399999998429e-05 × 6371000     		dl = 265.288439998999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12148796--1.12152960) × R
    4.16399999998429e-05 × 6371000     		dr = 265.288439998999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26355707-0.26365295) × cos(-1.12148796) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.434342651011167 × 6371000     		do = 265.318851197274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26355707-0.26365295) × cos(-1.12152960) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.434305143499417 × 6371000     		du = 265.295939678211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12148796)-sin(-1.12152960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434342651011167-0.434305143499417)×R²
    abs(0.26365295-0.26355707)×3.75075117495238e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.75075117495238e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.75075117495238e-05×40589641000000     		ar = 70382.9850659981m²