Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35514 / 47897
↖ ↑ ↗
← S 63.609659°
E 15.084228°		 ← 271.51 m → S 63.609659°
E 15.089722°		 →
↑
271.47 m
↓
↑
271.47 m
↓
S 63.612100°
E 15.084228°		 ← 271.49 m →
73 704 m²		 S 63.612100°
E 15.089722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541908264160156 y=0.730857849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541908264160156 × 216)
    floor (0.541908264160156 × 65536)
    floor (35514.5)     		tx = 35514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730857849121094 × 216)
    floor (0.730857849121094 × 65536)
    floor (47897.5)     		ty = 47897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35514 / 47897 ti = "16/35514/47897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35514/47897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35514 ÷ 216
    35514 ÷ 65536     		x = 0.541900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47897 ÷ 216
    47897 ÷ 65536     		y = 0.730850219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541900634765625 × 2 - 1) × π
    0.08380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26326945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730850219726562 × 2 - 1) × π
    -0.461700439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45047470870366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26326945} λ = 0.26326945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45047470870366))-π/2
    2×atan(0.234458961962252)-π/2
    2×0.230299175747464-π/2
    0.460598351494928-1.57079632675     		φ = -1.11019798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26326945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.084228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11019798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.609659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35514 KachelY 47897 0.26326945 -1.11019798 15.084228 -63.609659
    Oben rechts KachelX + 1 35515 KachelY 47897 0.26336533 -1.11019798 15.089722 -63.609659
    Unten links KachelX 35514 KachelY + 1 47898 0.26326945 -1.11024059 15.084228 -63.612100
    Unten rechts KachelX + 1 35515 KachelY + 1 47898 0.26336533 -1.11024059 15.089722 -63.612100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11019798--1.11024059) × R
    4.2610000000165e-05 × 6371000     		dl = 271.468310001051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11019798--1.11024059) × R
    4.2610000000165e-05 × 6371000     		dr = 271.468310001051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26326945-0.26336533) × cos(-1.11019798) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44448417760258 × 6371000     		do = 271.513817725098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26326945-0.26336533) × cos(-1.11024059) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444446007727705 × 6371000     		du = 271.490501600539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11019798)-sin(-1.11024059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44448417760258-0.444446007727705)×R²
    abs(0.26336533-0.26326945)×3.81698748753156e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81698748753156e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81698748753156e-05×40589641000000     		ar = 73704.2324563966m²