Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35513 / 48205
↖ ↑ ↗
← S 64.351799°
E 15.078735°		 ← 264.38 m → S 64.351799°
E 15.084228°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
S 64.354177°
E 15.078735°		 ← 264.35 m →
69 897 m²		 S 64.354177°
E 15.084228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541893005371094 y=0.735557556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541893005371094 × 216)
    floor (0.541893005371094 × 65536)
    floor (35513.5)     		tx = 35513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735557556152344 × 216)
    floor (0.735557556152344 × 65536)
    floor (48205.5)     		ty = 48205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35513 / 48205 ti = "16/35513/48205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35513/48205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35513 ÷ 216
    35513 ÷ 65536     		x = 0.541885375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48205 ÷ 216
    48205 ÷ 65536     		y = 0.735549926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541885375976562 × 2 - 1) × π
    0.083770751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26317358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735549926757812 × 2 - 1) × π
    -0.471099853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48000383886961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26317358} λ = 0.26317358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48000383886961))-π/2
    2×atan(0.227636814514085)-π/2
    2×0.223822778652437-π/2
    0.447645557304874-1.57079632675     		φ = -1.12315077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26317358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.078735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12315077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.351799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35513 KachelY 48205 0.26317358 -1.12315077 15.078735 -64.351799
    Oben rechts KachelX + 1 35514 KachelY 48205 0.26326945 -1.12315077 15.084228 -64.351799
    Unten links KachelX 35513 KachelY + 1 48206 0.26317358 -1.12319227 15.078735 -64.354177
    Unten rechts KachelX + 1 35514 KachelY + 1 48206 0.26326945 -1.12319227 15.084228 -64.354177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12315077--1.12319227) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dl = 264.396500000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12315077--1.12319227) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dr = 264.396500000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26317358-0.26326945) × cos(-1.12315077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432844278914233 × 6371000     		do = 264.375991875276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26317358-0.26326945) × cos(-1.12319227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432806867590158 × 6371000     		du = 264.353141496072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12315077)-sin(-1.12319227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432844278914233-0.432806867590158)×R²
    abs(0.26326945-0.26317358)×3.74113240745877e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74113240745877e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74113240745877e-05×40589641000000     		ar = 69897.0661658849m²