Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35507 / 48199
↖ ↑ ↗
← S 64.337529°
E 15.045777°		 ← 264.51 m → S 64.337529°
E 15.051270°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
S 64.339908°
E 15.045777°		 ← 264.49 m →
69 967 m²		 S 64.339908°
E 15.051270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541801452636719 y=0.735466003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541801452636719 × 216)
    floor (0.541801452636719 × 65536)
    floor (35507.5)     		tx = 35507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735466003417969 × 216)
    floor (0.735466003417969 × 65536)
    floor (48199.5)     		ty = 48199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35507 / 48199 ti = "16/35507/48199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35507/48199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35507 ÷ 216
    35507 ÷ 65536     		x = 0.541793823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48199 ÷ 216
    48199 ÷ 65536     		y = 0.735458374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541793823242188 × 2 - 1) × π
    0.083587646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26259834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735458374023438 × 2 - 1) × π
    -0.470916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47942859607417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26259834} λ = 0.26259834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47942859607417))-π/2
    2×atan(0.227767798621832)-π/2
    2×0.223947306212705-π/2
    0.447894612425409-1.57079632675     		φ = -1.12290171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26259834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.045777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12290171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.337529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35507 KachelY 48199 0.26259834 -1.12290171 15.045777 -64.337529
    Oben rechts KachelX + 1 35508 KachelY 48199 0.26269421 -1.12290171 15.051270 -64.337529
    Unten links KachelX 35507 KachelY + 1 48200 0.26259834 -1.12294323 15.045777 -64.339908
    Unten rechts KachelX + 1 35508 KachelY + 1 48200 0.26269421 -1.12294323 15.051270 -64.339908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12290171--1.12294323) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dl = 264.523919999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12290171--1.12294323) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dr = 264.523919999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26259834-0.26269421) × cos(-1.12290171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433068785283291 × 6371000     		do = 264.513117619784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26259834-0.26269421) × cos(-1.12294323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433031360406481 × 6371000     		du = 264.490258962735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12290171)-sin(-1.12294323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433068785283291-0.433031360406481)×R²
    abs(0.26269421-0.26259834)×3.74248768104102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74248768104102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74248768104102e-05×40589641000000     		ar = 69967.0234434803m²