Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35506 / 48201
↖ ↑ ↗
← S 64.342287°
E 15.040283°		 ← 264.49 m → S 64.342287°
E 15.045777°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
S 64.344665°
E 15.040283°		 ← 264.47 m →
69 945 m²		 S 64.344665°
E 15.045777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541786193847656 y=0.735496520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541786193847656 × 216)
    floor (0.541786193847656 × 65536)
    floor (35506.5)     		tx = 35506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735496520996094 × 216)
    floor (0.735496520996094 × 65536)
    floor (48201.5)     		ty = 48201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35506 / 48201 ti = "16/35506/48201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35506/48201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35506 ÷ 216
    35506 ÷ 65536     		x = 0.541778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48201 ÷ 216
    48201 ÷ 65536     		y = 0.735488891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541778564453125 × 2 - 1) × π
    0.08355712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26250246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735488891601562 × 2 - 1) × π
    -0.470977783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47962034367265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26250246} λ = 0.26250246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47962034367265))-π/2
    2×atan(0.227724128880353)-π/2
    2×0.223905789851171-π/2
    0.447811579702342-1.57079632675     		φ = -1.12298475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26250246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.040283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12298475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.342287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35506 KachelY 48201 0.26250246 -1.12298475 15.040283 -64.342287
    Oben rechts KachelX + 1 35507 KachelY 48201 0.26259834 -1.12298475 15.045777 -64.342287
    Unten links KachelX 35506 KachelY + 1 48202 0.26250246 -1.12302626 15.040283 -64.344665
    Unten rechts KachelX + 1 35507 KachelY + 1 48202 0.26259834 -1.12302626 15.045777 -64.344665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12298475--1.12302626) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dl = 264.460209999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12298475--1.12302626) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dr = 264.460209999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26250246-0.26259834) × cos(-1.12298475) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.432993934783163 × 6371000     		do = 264.494985893298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26250246-0.26259834) × cos(-1.12302626) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.43295651742755 × 6371000     		du = 264.472129446245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12298475)-sin(-1.12302626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432993934783163-0.43295651742755)×R²
    abs(0.26259834-0.26250246)×3.74173556124124e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.74173556124124e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.74173556124124e-05×40589641000000     		ar = 69945.377212796m²