Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35502 / 48049
↖ ↑ ↗
← S 63.978371°
E 15.018311°		 ← 267.96 m → S 63.978371°
E 15.023804°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
S 63.980781°
E 15.018311°		 ← 267.94 m →
71 800 m²		 S 63.980781°
E 15.023804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541725158691406 y=0.733177185058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541725158691406 × 216)
    floor (0.541725158691406 × 65536)
    floor (35502.5)     		tx = 35502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733177185058594 × 216)
    floor (0.733177185058594 × 65536)
    floor (48049.5)     		ty = 48049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35502 / 48049 ti = "16/35502/48049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35502/48049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35502 ÷ 216
    35502 ÷ 65536     		x = 0.541717529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48049 ÷ 216
    48049 ÷ 65536     		y = 0.733169555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541717529296875 × 2 - 1) × π
    0.08343505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26211897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733169555664062 × 2 - 1) × π
    -0.466339111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46504752618816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26211897} λ = 0.26211897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46504752618816))-π/2
    2×atan(0.231067009482197)-π/2
    2×0.227081552087617-π/2
    0.454163104175233-1.57079632675     		φ = -1.11663322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26211897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.018311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11663322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.978371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35502 KachelY 48049 0.26211897 -1.11663322 15.018311 -63.978371
    Oben rechts KachelX + 1 35503 KachelY 48049 0.26221484 -1.11663322 15.023804 -63.978371
    Unten links KachelX 35502 KachelY + 1 48050 0.26211897 -1.11667528 15.018311 -63.980781
    Unten rechts KachelX + 1 35503 KachelY + 1 48050 0.26221484 -1.11667528 15.023804 -63.980781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11663322--1.11667528) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11663322--1.11667528) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26211897-0.26221484) × cos(-1.11663322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438710411445166 × 6371000     		do = 267.95895388237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26211897-0.26221484) × cos(-1.11667528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438672614742562 × 6371000     		du = 267.935868118673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11663322)-sin(-1.11667528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438710411445166-0.438672614742562)×R²
    abs(0.26221484-0.26211897)×3.77967026044534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77967026044534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77967026044534e-05×40589641000000     		ar = 71800.3297181261m²