Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3550 / 4619
↖ ↑ ↗
← N 78.036965°
W140.998535°		 ← 253.22 m → N 78.036965°
W140.987549°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
N 78.034688°
W140.998535°		 ← 253.27 m →
64 134 m²		 N 78.034688°
W140.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108352661132812 y=0.140975952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108352661132812 × 215)
    floor (0.108352661132812 × 32768)
    floor (3550.5)     		tx = 3550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140975952148438 × 215)
    floor (0.140975952148438 × 32768)
    floor (4619.5)     		ty = 4619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3550 / 4619 ti = "15/3550/4619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3550/4619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3550 ÷ 215
    3550 ÷ 32768     		x = 0.10833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4619 ÷ 215
    4619 ÷ 32768     		y = 0.140960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.7833251953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46088868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140960693359375 × 2 - 1) × π
    0.71807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25591049611984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46088868} λ = -2.46088868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25591049611984))-π/2
    2×atan(9.54397911130129)-π/2
    2×1.46639915421133-π/2
    2.93279830842267-1.57079632675     		φ = 1.36200198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46088868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36200198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.036965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3550 KachelY 4619 -2.46088868 1.36200198 -140.998535 78.036965
    Oben rechts KachelX + 1 3551 KachelY 4619 -2.46069693 1.36200198 -140.987549 78.036965
    Unten links KachelX 3550 KachelY + 1 4620 -2.46088868 1.36196223 -140.998535 78.034688
    Unten rechts KachelX + 1 3551 KachelY + 1 4620 -2.46069693 1.36196223 -140.987549 78.034688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36200198-1.36196223) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36200198-1.36196223) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46088868--2.46069693) × cos(1.36200198) × R
    0.000191749999999935 × 0.207280582516144 × 6371000     		do = 253.2220953645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46088868--2.46069693) × cos(1.36196223) × R
    0.000191749999999935 × 0.207319469043359 × 6371000     		du = 253.269600672442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36200198)-sin(1.36196223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207280582516144-0.207319469043359)×R²
    abs(-2.46069693--2.46088868)×3.88865272151762e-05×R²
    0.000191749999999935×3.88865272151762e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.88865272151762e-05×40589641000000     		ar = 64133.8145932202m²