Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 355 / 741
↖ ↑ ↗
← S 62.431074°
W 55.195312°		 ← 18.092 km → S 62.431074°
W 54.843750°		 →
↑
18.043 km
↓
↑
18.043 km
↓
S 62.593341°
W 55.195312°		 ← 17.994 km →
325.559 km²		 S 62.593341°
W 54.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34716796875 y=0.72412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34716796875 × 210)
    floor (0.34716796875 × 1024)
    floor (355.5)     		tx = 355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72412109375 × 210)
    floor (0.72412109375 × 1024)
    floor (741.5)     		ty = 741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 355 / 741 ti = "10/355/741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/355/741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 355 ÷ 210
    355 ÷ 1024     		x = 0.3466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 741 ÷ 210
    741 ÷ 1024     		y = 0.7236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3466796875 × 2 - 1) × π
    -0.306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96333993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7236328125 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96333993} λ = -0.96333993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40512640166309))-π/2
    2×atan(0.245336043609003)-π/2
    2×0.24058426294601-π/2
    0.481168525892021-1.57079632675     		φ = -1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96333993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 355 KachelY 741 -0.96333993 -1.08962780 -55.195312 -62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 356 KachelY 741 -0.95720401 -1.08962780 -54.843750 -62.431074
    Unten links KachelX 355 KachelY + 1 742 -0.96333993 -1.09245989 -55.195312 -62.593341
    Unten rechts KachelX + 1 356 KachelY + 1 742 -0.95720401 -1.09245989 -54.843750 -62.593341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08962780--1.09245989) × R
    0.00283209000000006 × 6371000     		dl = 18043.2453900004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08962780--1.09245989) × R
    0.00283209000000006 × 6371000     		dr = 18043.2453900004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96333993--0.95720401) × cos(-1.08962780) × R
    0.00613591999999996 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 18092.3523245615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96333993--0.95720401) × cos(-1.09245989) × R
    0.00613591999999996 × 0.460302965131908 × 6371000     		du = 17994.1388038733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08962780)-sin(-1.09245989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.460302965131908)×R²
    abs(-0.95720401--0.96333993)×0.00251237223862649×R²
    0.00613591999999996×0.00251237223862649×6371000²
    0.00613591999999996×0.00251237223862649×40589641000000     		ar = 325558924.949024m²