Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35497 / 31400
↖ ↑ ↗
← N  7.493196°
E 14.990845°		 ← 605.57 m → N  7.493196°
E 14.996338°		 →
↑
605.63 m
↓
↑
605.63 m
↓
N  7.487750°
E 14.990845°		 ← 605.58 m →
366 753 m²		 N  7.487750°
E 14.996338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541648864746094 y=0.479133605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541648864746094 × 216)
    floor (0.541648864746094 × 65536)
    floor (35497.5)     		tx = 35497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479133605957031 × 216)
    floor (0.479133605957031 × 65536)
    floor (31400.5)     		ty = 31400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35497 / 31400 ti = "16/35497/31400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35497/31400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35497 ÷ 216
    35497 ÷ 65536     		x = 0.541641235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31400 ÷ 216
    31400 ÷ 65536     		y = 0.4791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541641235351562 × 2 - 1) × π
    0.083282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26163960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131155357360474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26163960} λ = 0.26163960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131155357360474))-π/2
    2×atan(1.14014489745531)-π/2
    2×0.850788638346815-π/2
    1.70157727669363-1.57079632675     		φ = 0.13078095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26163960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.990845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13078095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.493196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35497 KachelY 31400 0.26163960 0.13078095 14.990845 7.493196
    Oben rechts KachelX + 1 35498 KachelY 31400 0.26173547 0.13078095 14.996338 7.493196
    Unten links KachelX 35497 KachelY + 1 31401 0.26163960 0.13068589 14.990845 7.487750
    Unten rechts KachelX + 1 35498 KachelY + 1 31401 0.26173547 0.13068589 14.996338 7.487750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13078095-0.13068589) × R
    9.50600000000079e-05 × 6371000     		dl = 605.62726000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13078095-0.13068589) × R
    9.50600000000079e-05 × 6371000     		dr = 605.62726000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26163960-0.26173547) × cos(0.13078095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991460353573092 × 6371000     		do = 605.571858402307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26163960-0.26173547) × cos(0.13068589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991472745721974 × 6371000     		du = 605.579427375288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13078095)-sin(0.13068589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991460353573092-0.991472745721974)×R²
    abs(0.26173547-0.26163960)×1.23921488819345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.23921488819345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.23921488819345e-05×40589641000000     		ar = 366753.117601681m²