Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35493 / 48106
↖ ↑ ↗
← S 64.115399°
E 14.968872°		 ← 266.67 m → S 64.115399°
E 14.974365°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
S 64.117797°
E 14.968872°		 ← 266.65 m →
71 099 m²		 S 64.117797°
E 14.974365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541587829589844 y=0.734046936035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541587829589844 × 216)
    floor (0.541587829589844 × 65536)
    floor (35493.5)     		tx = 35493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734046936035156 × 216)
    floor (0.734046936035156 × 65536)
    floor (48106.5)     		ty = 48106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35493 / 48106 ti = "16/35493/48106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35493/48106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35493 ÷ 216
    35493 ÷ 65536     		x = 0.541580200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48106 ÷ 216
    48106 ÷ 65536     		y = 0.734039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541580200195312 × 2 - 1) × π
    0.083160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26125610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.46807861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47051233274484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26125610} λ = 0.26125610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47051233274484))-π/2
    2×atan(0.229807717002613)-π/2
    2×0.22588575804605-π/2
    0.451771516092099-1.57079632675     		φ = -1.11902481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26125610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.968872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11902481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.115399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35493 KachelY 48106 0.26125610 -1.11902481 14.968872 -64.115399
    Oben rechts KachelX + 1 35494 KachelY 48106 0.26135198 -1.11902481 14.974365 -64.115399
    Unten links KachelX 35493 KachelY + 1 48107 0.26125610 -1.11906666 14.968872 -64.117797
    Unten rechts KachelX + 1 35494 KachelY + 1 48107 0.26135198 -1.11906666 14.974365 -64.117797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11902481--1.11906666) × R
    4.1850000000121e-05 × 6371000     		dl = 266.626350000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11902481--1.11906666) × R
    4.1850000000121e-05 × 6371000     		dr = 266.626350000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26125610-0.26135198) × cos(-1.11902481) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.436560007921778 × 6371000     		do = 266.673326947809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26125610-0.26135198) × cos(-1.11906666) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.436522356134834 × 6371000     		du = 266.65032729803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11902481)-sin(-1.11906666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436560007921778-0.436522356134834)×R²
    abs(0.26135198-0.26125610)×3.76517869439263e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.76517869439263e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.76517869439263e-05×40589641000000     		ar = 71099.069660654m²