Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3548 / 4652
↖ ↑ ↗
← N 77.961583°
W141.020508°		 ← 254.78 m → N 77.961583°
W141.009522°		 →
↑
254.84 m
↓
↑
254.84 m
↓
N 77.959291°
W141.020508°		 ← 254.83 m →
64 934 m²		 N 77.959291°
W141.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108291625976562 y=0.141983032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108291625976562 × 215)
    floor (0.108291625976562 × 32768)
    floor (3548.5)     		tx = 3548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141983032226562 × 215)
    floor (0.141983032226562 × 32768)
    floor (4652.5)     		ty = 4652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3548 / 4652 ti = "15/3548/4652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3548/4652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3548 ÷ 215
    3548 ÷ 32768     		x = 0.1082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4652 ÷ 215
    4652 ÷ 32768     		y = 0.1419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46127217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1419677734375 × 2 - 1) × π
    0.716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24958282537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46127217} λ = -2.46127217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24958282537))-π/2
    2×atan(9.48377861915411)-π/2
    2×1.4657413187857-π/2
    2.9314826375714-1.57079632675     		φ = 1.36068631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46127217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36068631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.961583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3548 KachelY 4652 -2.46127217 1.36068631 -141.020508 77.961583
    Oben rechts KachelX + 1 3549 KachelY 4652 -2.46108043 1.36068631 -141.009522 77.961583
    Unten links KachelX 3548 KachelY + 1 4653 -2.46127217 1.36064631 -141.020508 77.959291
    Unten rechts KachelX + 1 3549 KachelY + 1 4653 -2.46108043 1.36064631 -141.009522 77.959291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36068631-1.36064631) × R
    4.000000000004e-05 × 6371000     		dl = 254.840000000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36068631-1.36064631) × R
    4.000000000004e-05 × 6371000     		dr = 254.840000000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46127217--2.46108043) × cos(1.36068631) × R
    0.000191739999999996 × 0.208567498410863 × 6371000     		do = 254.780954497693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46127217--2.46108043) × cos(1.36064631) × R
    0.000191739999999996 × 0.208606618562987 × 6371000     		du = 254.828742718649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36068631)-sin(1.36064631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208567498410863-0.208606618562987)×R²
    abs(-2.46108043--2.46127217)×3.91201521242057e-05×R²
    0.000191739999999996×3.91201521242057e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.91201521242057e-05×40589641000000     		ar = 64934.4676278762m²