Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3548 / 4618
↖ ↑ ↗
← N 78.039242°
W141.020508°		 ← 253.16 m → N 78.039242°
W141.009522°		 →
↑
253.18 m
↓
↑
253.18 m
↓
N 78.036965°
W141.020508°		 ← 253.21 m →
64 102 m²		 N 78.036965°
W141.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108291625976562 y=0.140945434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108291625976562 × 215)
    floor (0.108291625976562 × 32768)
    floor (3548.5)     		tx = 3548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140945434570312 × 215)
    floor (0.140945434570312 × 32768)
    floor (4618.5)     		ty = 4618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3548 / 4618 ti = "15/3548/4618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3548/4618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3548 ÷ 215
    3548 ÷ 32768     		x = 0.1082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4618 ÷ 215
    4618 ÷ 32768     		y = 0.14093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46127217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14093017578125 × 2 - 1) × π
    0.7181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25610224371832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46127217} λ = -2.46127217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25610224371832))-π/2
    2×atan(9.54580932183945)-π/2
    2×1.46641902512435-π/2
    2.9328380502487-1.57079632675     		φ = 1.36204172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46127217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36204172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.039242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3548 KachelY 4618 -2.46127217 1.36204172 -141.020508 78.039242
    Oben rechts KachelX + 1 3549 KachelY 4618 -2.46108043 1.36204172 -141.009522 78.039242
    Unten links KachelX 3548 KachelY + 1 4619 -2.46127217 1.36200198 -141.020508 78.036965
    Unten rechts KachelX + 1 3549 KachelY + 1 4619 -2.46108043 1.36200198 -141.009522 78.036965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36204172-1.36200198) × R
    3.97399999998438e-05 × 6371000     		dl = 253.183539999005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36204172-1.36200198) × R
    3.97399999998438e-05 × 6371000     		dr = 253.183539999005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46127217--2.46108043) × cos(1.36204172) × R
    0.000191739999999996 × 0.207241705444311 × 6371000     		do = 253.161398238649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46127217--2.46108043) × cos(1.36200198) × R
    0.000191739999999996 × 0.207280582516144 × 6371000     		du = 253.208889518668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36204172)-sin(1.36200198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207241705444311-0.207280582516144)×R²
    abs(-2.46108043--2.46127217)×3.88770718335596e-05×R²
    0.000191739999999996×3.88770718335596e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.88770718335596e-05×40589641000000     		ar = 64102.3110110723m²