Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3548 / 2598
↖ ↑ ↗
← N 76.649377°
W102.041015°		 ← 564.16 m → N 76.649377°
W102.019043°		 →
↑
564.22 m
↓
↑
564.22 m
↓
N 76.644302°
W102.041015°		 ← 564.37 m →
318 368 m²		 N 76.644302°
W102.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216583251953125 y=0.158599853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216583251953125 × 214)
    floor (0.216583251953125 × 16384)
    floor (3548.5)     		tx = 3548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158599853515625 × 214)
    floor (0.158599853515625 × 16384)
    floor (2598.5)     		ty = 2598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3548 / 2598 ti = "14/3548/2598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3548/2598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3548 ÷ 214
    3548 ÷ 16384     		x = 0.216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2598 ÷ 214
    2598 ÷ 16384     		y = 0.1585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216552734375 × 2 - 1) × π
    -0.56689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78095169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1585693359375 × 2 - 1) × π
    0.682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14527213179675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78095169} λ = -1.78095169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14527213179675))-π/2
    2×atan(8.54436611464611)-π/2
    2×1.45429016065446-π/2
    2.90858032130893-1.57079632675     		φ = 1.33778399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78095169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.041015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33778399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.649377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3548 KachelY 2598 -1.78095169 1.33778399 -102.041015 76.649377
    Oben rechts KachelX + 1 3549 KachelY 2598 -1.78056820 1.33778399 -102.019043 76.649377
    Unten links KachelX 3548 KachelY + 1 2599 -1.78095169 1.33769543 -102.041015 76.644302
    Unten rechts KachelX + 1 3549 KachelY + 1 2599 -1.78056820 1.33769543 -102.019043 76.644302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33778399-1.33769543) × R
    8.85600000000153e-05 × 6371000     		dl = 564.215760000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33778399-1.33769543) × R
    8.85600000000153e-05 × 6371000     		dr = 564.215760000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78095169--1.78056820) × cos(1.33778399) × R
    0.000383489999999931 × 0.230909495854086 × 6371000     		do = 564.161495422045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78095169--1.78056820) × cos(1.33769543) × R
    0.000383489999999931 × 0.230995661635143 × 6371000     		du = 564.372016932714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33778399)-sin(1.33769543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230909495854086-0.230995661635143)×R²
    abs(-1.78056820--1.78095169)×8.61657810564131e-05×R²
    0.000383489999999931×8.61657810564131e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.61657810564131e-05×40589641000000     		ar = 318368.196887777m²