Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35478 / 31422
↖ ↑ ↗
← N  7.373362°
E 14.886475°		 ← 605.74 m → N  7.373362°
E 14.891968°		 →
↑
605.75 m
↓
↑
605.75 m
↓
N  7.367915°
E 14.886475°		 ← 605.74 m →
366 930 m²		 N  7.367915°
E 14.891968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541358947753906 y=0.479469299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541358947753906 × 216)
    floor (0.541358947753906 × 65536)
    floor (35478.5)     		tx = 35478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479469299316406 × 216)
    floor (0.479469299316406 × 65536)
    floor (31422.5)     		ty = 31422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35478 / 31422 ti = "16/35478/31422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35478/31422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35478 ÷ 216
    35478 ÷ 65536     		x = 0.541351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31422 ÷ 216
    31422 ÷ 65536     		y = 0.479461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541351318359375 × 2 - 1) × π
    0.08270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25981800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479461669921875 × 2 - 1) × π
    0.04107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.129046133777191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25981800} λ = 0.25981800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.129046133777191))-π/2
    2×atan(1.13774261131914)-π/2
    2×0.849742889513675-π/2
    1.69948577902735-1.57079632675     		φ = 0.12868945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25981800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.886475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12868945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.373362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35478 KachelY 31422 0.25981800 0.12868945 14.886475 7.373362
    Oben rechts KachelX + 1 35479 KachelY 31422 0.25991387 0.12868945 14.891968 7.373362
    Unten links KachelX 35478 KachelY + 1 31423 0.25981800 0.12859437 14.886475 7.367915
    Unten rechts KachelX + 1 35479 KachelY + 1 31423 0.25991387 0.12859437 14.891968 7.367915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12868945-0.12859437) × R
    9.50799999999974e-05 × 6371000     		dl = 605.754679999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12868945-0.12859437) × R
    9.50799999999974e-05 × 6371000     		dr = 605.754679999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25981800-0.25991387) × cos(0.12868945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991730934167634 × 6371000     		do = 605.737125720253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25981800-0.25991387) × cos(0.12859437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991743131732974 × 6371000     		du = 605.744575843986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12868945)-sin(0.12859437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991730934167634-0.991743131732974)×R²
    abs(0.25991387-0.25981800)×1.21975653402107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.21975653402107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.21975653402107e-05×40589641000000     		ar = 366930.355504802m²