Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35472 / 48016
↖ ↑ ↗
← S 63.898731°
E 14.853515°		 ← 268.75 m → S 63.898731°
E 14.859009°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
S 63.901148°
E 14.853515°		 ← 268.73 m →
72 218 m²		 S 63.901148°
E 14.859009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541267395019531 y=0.732673645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541267395019531 × 216)
    floor (0.541267395019531 × 65536)
    floor (35472.5)     		tx = 35472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732673645019531 × 216)
    floor (0.732673645019531 × 65536)
    floor (48016.5)     		ty = 48016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35472 / 48016 ti = "16/35472/48016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35472/48016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35472 ÷ 216
    35472 ÷ 65536     		x = 0.541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48016 ÷ 216
    48016 ÷ 65536     		y = 0.732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541259765625 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25924275} λ = 0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46188369081323))-π/2
    2×atan(0.231799225154917)-π/2
    2×0.227776543120856-π/2
    0.455553086241713-1.57079632675     		φ = -1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35472 KachelY 48016 0.25924275 -1.11524324 14.853515 -63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 35473 KachelY 48016 0.25933863 -1.11524324 14.859009 -63.898731
    Unten links KachelX 35472 KachelY + 1 48017 0.25924275 -1.11528542 14.853515 -63.901148
    Unten rechts KachelX + 1 35473 KachelY + 1 48017 0.25933863 -1.11528542 14.859009 -63.901148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11524324--1.11528542) × R
    4.21799999998917e-05 × 6371000     		dl = 268.72877999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11524324--1.11528542) × R
    4.21799999998917e-05 × 6371000     		dr = 268.72877999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25924275-0.25933863) × cos(-1.11524324) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 268.749644697637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25924275-0.25933863) × cos(-1.11528542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.439921184093286 × 6371000     		du = 268.726506386715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11524324)-sin(-1.11528542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.439921184093286)×R²
    abs(0.25933863-0.25924275)×3.78787834350858e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.78787834350858e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.78787834350858e-05×40589641000000     		ar = 72217.6551905437m²