Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3547 / 2793
↖ ↑ ↗
← N 49.582226°
W 24.125977°		 ← 3 168.19 m → N 49.582226°
W 24.082031°		 →
↑
3 169.06 m
↓
↑
3 169.06 m
↓
N 49.553726°
W 24.125977°		 ← 3 170.04 m →
10 043 118 m²		 N 49.553726°
W 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43304443359375 y=0.34100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43304443359375 × 213)
    floor (0.43304443359375 × 8192)
    floor (3547.5)     		tx = 3547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34100341796875 × 213)
    floor (0.34100341796875 × 8192)
    floor (2793.5)     		ty = 2793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3547 / 2793 ti = "13/3547/2793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3547/2793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3547 ÷ 213
    3547 ÷ 8192     		x = 0.4329833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2793 ÷ 213
    2793 ÷ 8192     		y = 0.3409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4329833984375 × 2 - 1) × π
    -0.134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42107773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3409423828125 × 2 - 1) × π
    0.318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.999388483278931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42107773} λ = -0.42107773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999388483278931))-π/2
    2×atan(2.71662006181919)-π/2
    2×1.21808471086156-π/2
    2.43616942172311-1.57079632675     		φ = 0.86537309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42107773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.125977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86537309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.582226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3547 KachelY 2793 -0.42107773 0.86537309 -24.125977 49.582226
    Oben rechts KachelX + 1 3548 KachelY 2793 -0.42031074 0.86537309 -24.082031 49.582226
    Unten links KachelX 3547 KachelY + 1 2794 -0.42107773 0.86487567 -24.125977 49.553726
    Unten rechts KachelX + 1 3548 KachelY + 1 2794 -0.42031074 0.86487567 -24.082031 49.553726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86537309-0.86487567) × R
    0.000497419999999971 × 6371000     		dl = 3169.06281999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86537309-0.86487567) × R
    0.000497419999999971 × 6371000     		dr = 3169.06281999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42107773--0.42031074) × cos(0.86537309) × R
    0.000766989999999967 × 0.648356113517158 × 6371000     		do = 3168.18779823194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42107773--0.42031074) × cos(0.86487567) × R
    0.000766989999999967 × 0.648734737647142 × 6371000     		du = 3170.03794250253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86537309)-sin(0.86487567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648356113517158-0.648734737647142)×R²
    abs(-0.42031074--0.42107773)×0.000378624129983574×R²
    0.000766989999999967×0.000378624129983574×6371000²
    0.000766989999999967×0.000378624129983574×40589641000000     		ar = 10043117.9769407m²