Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35464 / 31411
↖ ↑ ↗
← N  7.433283°
E 14.809570°		 ← 605.72 m → N  7.433283°
E 14.815064°		 →
↑
605.69 m
↓
↑
605.69 m
↓
N  7.427836°
E 14.809570°		 ← 605.73 m →
366 880 m²		 N  7.427836°
E 14.815064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541145324707031 y=0.479301452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541145324707031 × 216)
    floor (0.541145324707031 × 65536)
    floor (35464.5)     		tx = 35464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479301452636719 × 216)
    floor (0.479301452636719 × 65536)
    floor (31411.5)     		ty = 31411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35464 / 31411 ti = "16/35464/31411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35464/31411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35464 ÷ 216
    35464 ÷ 65536     		x = 0.5411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31411 ÷ 216
    31411 ÷ 65536     		y = 0.479293823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5411376953125 × 2 - 1) × π
    0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479293823242188 × 2 - 1) × π
    0.041412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.130100745568832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25847576} λ = 0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.130100745568832))-π/2
    2×atan(1.13894312101746)-π/2
    2×0.850265799599908-π/2
    1.70053159919982-1.57079632675     		φ = 0.12973527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12973527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.433283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35464 KachelY 31411 0.25847576 0.12973527 14.809570 7.433283
    Oben rechts KachelX + 1 35465 KachelY 31411 0.25857164 0.12973527 14.815064 7.433283
    Unten links KachelX 35464 KachelY + 1 31412 0.25847576 0.12964020 14.809570 7.427836
    Unten rechts KachelX + 1 35465 KachelY + 1 31412 0.25857164 0.12964020 14.815064 7.427836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12973527-0.12964020) × R
    9.50700000000027e-05 × 6371000     		dl = 605.690970000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12973527-0.12964020) × R
    9.50700000000027e-05 × 6371000     		dr = 605.690970000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25847576-0.25857164) × cos(0.12973527) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.991596177015656 × 6371000     		do = 605.717992292309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25847576-0.25857164) × cos(0.12964020) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.991608471896459 × 6371000     		du = 605.725502638444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12973527)-sin(0.12964020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991596177015656-0.991608471896459)×R²
    abs(0.25857164-0.25847576)×1.22948808025658e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.22948808025658e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.22948808025658e-05×40589641000000     		ar = 366880.193048793m²