Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35463 / 48087
↖ ↑ ↗
← S 64.069798°
E 14.804077°		 ← 267.08 m → S 64.069798°
E 14.809570°		 →
↑
267.07 m
↓
↑
267.07 m
↓
S 64.072199°
E 14.804077°		 ← 267.06 m →
71 327 m²		 S 64.072199°
E 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541130065917969 y=0.733757019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541130065917969 × 216)
    floor (0.541130065917969 × 65536)
    floor (35463.5)     		tx = 35463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733757019042969 × 216)
    floor (0.733757019042969 × 65536)
    floor (48087.5)     		ty = 48087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35463 / 48087 ti = "16/35463/48087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35463/48087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35463 ÷ 216
    35463 ÷ 65536     		x = 0.541122436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48087 ÷ 216
    48087 ÷ 65536     		y = 0.733749389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541122436523438 × 2 - 1) × π
    0.082244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25837989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733749389648438 × 2 - 1) × π
    -0.467498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46869073055928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25837989} λ = 0.25837989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46869073055928))-π/2
    2×atan(0.230226716751732)-π/2
    2×0.226283703333082-π/2
    0.452567406666164-1.57079632675     		φ = -1.11822892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25837989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.804077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11822892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.069798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35463 KachelY 48087 0.25837989 -1.11822892 14.804077 -64.069798
    Oben rechts KachelX + 1 35464 KachelY 48087 0.25847576 -1.11822892 14.809570 -64.069798
    Unten links KachelX 35463 KachelY + 1 48088 0.25837989 -1.11827084 14.804077 -64.072199
    Unten rechts KachelX + 1 35464 KachelY + 1 48088 0.25847576 -1.11827084 14.809570 -64.072199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11822892--1.11827084) × R
    4.19200000001396e-05 × 6371000     		dl = 267.07232000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11822892--1.11827084) × R
    4.19200000001396e-05 × 6371000     		dr = 267.07232000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25837989-0.25847576) × cos(-1.11822892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437275912026747 × 6371000     		do = 267.082779181527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25837989-0.25847576) × cos(-1.11827084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437238211837838 × 6371000     		du = 267.059752367215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11822892)-sin(-1.11827084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437275912026747-0.437238211837838)×R²
    abs(0.25847576-0.25837989)×3.77001889084183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77001889084183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77001889084183e-05×40589641000000     		ar = 71327.3425661462m²